我記得30年前，我上小學(xué)的時(shí)候，學(xué)校組織了許多課后興趣小組，每個(gè)月交個(gè)十塊二十塊的，就能參加了。我參加了數(shù)學(xué)、航模和計(jì)算機(jī)三個(gè)興趣小組（后來航模小組被班主任強(qiáng)令退了），學(xué)了很多奇奇怪怪的知識(shí)，開拓了我的視野。

尤其是數(shù)學(xué)小組，我從三年級(jí)開始，一直上到六年級(jí)畢業(yè)，在里面學(xué)了很多好玩的知識(shí)，直到今天我還記得。比如：

• 三條直線能把一個(gè)圓形分成幾個(gè)部分？

• 一次走一個(gè)臺(tái)階或者兩個(gè)臺(tái)階，走上一個(gè)10個(gè)臺(tái)階的樓梯有幾種方法？

• 甲乙兩人相向而行，到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后返回，再次相遇時(shí)一共走多遠(yuǎn)？

• 把100拆成幾個(gè)正整數(shù)的和，讓它們的乘積最大，請(qǐng)問應(yīng)該怎么拆？

……

這些問題在現(xiàn)在看來都非常小兒科，但是那時(shí)候，許多問題都讓我百思不得其解。后來恍然大悟，又感覺暢快淋漓，從此愛上了數(shù)學(xué)。教我數(shù)學(xué)的王成邦老師、李偉群老師都去了廣東、李國(guó)老師不知是否還在吉林市，時(shí)隔三十年，他們上課時(shí)的情景，我依然記憶猶新。

我記得有一次，王成邦老師講倍數(shù)的特點(diǎn)，他教我們?nèi)绾慰焖倥袛嘁粋€(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。比如2、3、5、7、11、13、17、19、23等數(shù)的倍數(shù)，都有什么特點(diǎn)。這么多年來，我對(duì)于這些規(guī)律都是單獨(dú)記憶、單獨(dú)證明，仿佛每條規(guī)律都是特殊的。在網(wǎng)上搜搜，結(jié)果也大體如此。

前兩天與我的學(xué)生魯泠溪聊天，提到此事，她告訴我：其實(shí)這些規(guī)則都是統(tǒng)一的，而且可以自己歸納總結(jié)出更多類似規(guī)則。30年了，一個(gè)小小的倍數(shù)問題，居然讓我有了更深的理解。我再次體會(huì)到了小學(xué)三年級(jí)時(shí)那種豁然開朗的感覺。

今天，我就想來給大家講講這個(gè)簡(jiǎn)單但是有趣的問題。由于2、4、5、8、10這樣的數(shù)字的倍數(shù)都比較簡(jiǎn)單，我在文章中主要討論3、7、11、13、17、19的倍數(shù)特點(diǎn)，從最簡(jiǎn)單的3開始。

一、3的倍數(shù)

規(guī)則：如果一個(gè)數(shù)各個(gè)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

例子：判斷123456是不是3的倍數(shù)。

解：

• 1+2+3+4+5+6=21

• 21是3的倍數(shù),所以123456是3的倍數(shù)。

證明：以三位數(shù)為例。

• 【abc】表示百位是a、十位是b、個(gè)位是c的一個(gè)三位數(shù)。
  

• 【abc】=100a+10b+c=（99a+9b）+（a+b+c）

• 由于9是3的倍數(shù)，所以99a+9b也是3的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)(a+b+c)是3的倍數(shù)時(shí)，【abc】才是3的倍數(shù)，證畢。
  

3的倍數(shù)的快速判斷，小學(xué)生都知道，因?yàn)檎n本里有這一課。關(guān)于這種方法，我們還可以做以下兩點(diǎn)引申：

引申1：?根據(jù)剛才的證明過程可知：各位數(shù)字之和與原來的數(shù)關(guān)于3同余，或者說各位數(shù)字之和除以3余幾，原來的數(shù)除以3就余幾。

引申2：9的倍數(shù)特點(diǎn)與3類似。各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)。各位數(shù)字之和除以9余幾，這個(gè)數(shù)除以9就余幾。

二、7的倍數(shù)

下面我們討論7的倍數(shù)。

規(guī)則：如果一個(gè)數(shù)去掉末位后的數(shù)減去末位的2倍，得到的結(jié)果是7的倍數(shù)，那么原來的數(shù)就是7的倍數(shù)。

例子：判斷147和1234是不是7的倍數(shù)。

解：

• 14-7x2=0，0是7的倍數(shù)，因此147是7的倍數(shù)。

• 123-4x2=115，11-5x2=1，1不是7的倍數(shù)，所以115不是7的倍數(shù)，所以1234不是7的倍數(shù)。

證明：

• 首先找到7的倍數(shù)21，21=7x3

• 一個(gè)數(shù)如果是7的倍數(shù)，減去整數(shù)個(gè)21后依然是7的倍數(shù)。我們要判斷一個(gè)數(shù)是否是7的倍數(shù)，可以讓這個(gè)數(shù)不停的減去21，判斷余下的數(shù)是不是7的倍數(shù)。

• 以三位數(shù)【abc】為例：

• 【abc】=100a+10b+c=10【ab】+c

• 【abc】-21c=10【ab】-20c=10(【ab】-2c）

• 判斷【abc】是不是7 的倍數(shù)，等價(jià)于判斷【abc】-21c是不是7的倍數(shù)，由于10與7互質(zhì)，又等價(jià)于判斷【ab】-2c是不是7的倍數(shù)。

• 當(dāng)且僅當(dāng)【ab】-2c是7的倍數(shù)時(shí)，【abc】才是7的倍數(shù)。

• 【ab】就是去掉末位后余下的數(shù)，【ab】-2c就是去掉末位后的數(shù)減去末位的兩倍，證畢。

說明：我們找到了一個(gè)數(shù)21，這個(gè)數(shù)是7的倍數(shù)。而且，21的十位是2，個(gè)位是1，當(dāng)我們用原來的數(shù)字減去21時(shí)，末位減掉1，十位就要減掉2，所以就出現(xiàn)了規(guī)則：去掉末位后減去末位的兩倍。

這句話很有普遍性：假如我們想判斷一個(gè)數(shù)是不是某個(gè)質(zhì)數(shù)的倍數(shù)（這個(gè)質(zhì)數(shù)不能是2和5，因?yàn)樗c10互質(zhì)），都可以用類似的方法。比如以下幾個(gè)例子。

三、11的倍數(shù)

首先找到一個(gè)11的倍數(shù)，它的個(gè)位必須是1.顯而易見，11本身就滿足這個(gè)規(guī)律，它的十位是1，所以：

規(guī)則1：如果一個(gè)數(shù)去掉末位后余下的數(shù)減去末位，結(jié)果是11的倍數(shù)，那么原來的數(shù)就是11的倍數(shù)。

例子：判斷1331是不是11的倍數(shù)。

解：

• 133-1=132，13-2=11。

• 11是11的倍數(shù)，所以132是11的倍數(shù)，所以1331是11的倍數(shù)。

不過說來，更方便的規(guī)則如下：

規(guī)則2：如果一個(gè)數(shù)奇數(shù)位的數(shù)字和減去偶數(shù)位的數(shù)字和，差是11的倍數(shù)，那么原來的數(shù)就是11的倍數(shù)。

例子：判斷1331是不是11的倍數(shù)。

解：

• 1331第一、第二、第三、第四位數(shù)字分別是1、3、3、1

• 奇數(shù)位是第一、第三位，數(shù)字和=1+3=4；

• 偶數(shù)位是第二、第四位，數(shù)字和=3+1=4；
  

• 4-4=0，0是11的倍數(shù)，所以1331是11的倍數(shù)。

大家要知道，規(guī)則2其實(shí)與規(guī)則1是相同的，只不過是換了一種展現(xiàn)方式。以四位數(shù)【abcd】為例：

• 按照規(guī)則1：判斷四位數(shù)是不是11的倍數(shù)，可以去掉末位得到三位數(shù)【abc】，再減去末位d，在不考慮退位的情況下（這里不加以證明，但是是合理的），三位數(shù)是【ab(c-d)】

• 重復(fù)規(guī)則1，去掉末位減末位，得到兩位數(shù) 【a(b-c+d)】；

• 重復(fù)規(guī)則1，去掉末位減末位，得到一位數(shù) a-b+c-d；

• 如果這個(gè)數(shù)是11的倍數(shù)，原來的四位數(shù)就是11的倍數(shù)。而這個(gè)數(shù)剛好滿足規(guī)則2——奇數(shù)位的和減去偶數(shù)位的和，這說明兩個(gè)規(guī)則是等價(jià)的。

四、13的倍數(shù)

首先找到一個(gè)13的倍數(shù)，它的個(gè)位必須是1，發(fā)現(xiàn)：91=13x7。由于91的十位是9，所以：

規(guī)則1：如果一個(gè)數(shù)去掉末位后余下的部分減去末位的9倍，結(jié)果是13的倍數(shù)，那么原來的數(shù)就是13的倍數(shù)。

例子：判斷7293是不是13的倍數(shù)。

解：

• 729-3x9=702；

• 70-2x9=52

• 52是13的倍數(shù)，所以702、7293也是13的倍數(shù)。

其實(shí)，這種方法還可以簡(jiǎn)化：因?yàn)?3=9+4，如果減去末位的9倍是13的倍數(shù)，那么加上末位的4倍也是13的倍數(shù)。所以：

規(guī)則2：如果一個(gè)數(shù)去掉末位后余下的部分加上末位的4倍，結(jié)果是13的倍數(shù)，那么原來的數(shù)就是13的倍數(shù)。

例子：判斷7293是不是13的倍數(shù)。

解：

• 729+3x4=741；

• 74+1x4=78；

• 7+8x4=39

• 39是13的倍數(shù)，所以78、741、7293也是13的倍數(shù)。

五、17的倍數(shù)

找到一個(gè)17的倍數(shù)，它的個(gè)位必須是1，發(fā)現(xiàn)：51=17x3，由于51的十位是5，所以：

規(guī)則：如果一個(gè)數(shù)去掉末位后余下的數(shù)減去末位的5倍，結(jié)果是17的倍數(shù)，那么原來的數(shù)就是17的倍數(shù)。

例子：判斷6137是不是17的倍數(shù)。

解：

• 613-7x5=578;

• 57-8x5=17.

• 17是17的倍數(shù)，所以578、6137也是17的倍數(shù)。

六、19的倍數(shù)

找到一個(gè)數(shù)，它是19的倍數(shù)，并且個(gè)位是1.我們發(fā)現(xiàn)：171=19x9，它的十位和百位是17，所以：

規(guī)則1：如果一個(gè)數(shù)去掉末位后減去末位的17倍，結(jié)果是19的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是19的倍數(shù)。

例子：判斷4047是不是19的倍數(shù)。

解：

• 404-7x17=285；

• 28-5x17=-57；

• -57是19的倍數(shù)，所以285和4047是19的倍數(shù)。

顯然，把一個(gè)數(shù)乘以17，這種方法有點(diǎn)復(fù)雜。由于19=17+2，所以如果減去末位的17倍結(jié)果是19的倍數(shù)，那么加上末位的2倍也是一樣，所以有：

規(guī)則2：如果一個(gè)數(shù)去掉末位后加上末位的2倍，結(jié)果是19的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是19的倍數(shù)。

例子：判斷4047是不是19的倍數(shù)。

解：

• 404+7x2=418;

• 41+8x2=57；

• 57是19的倍數(shù)，所以418和4047是19的倍數(shù)。

大家發(fā)現(xiàn)規(guī)律了吧？判斷一個(gè)數(shù)是不是7、11、13、17、19這樣的質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，都可以按照這樣的規(guī)則：首先找到這個(gè)質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，并且這個(gè)倍數(shù)個(gè)位是1。十位（包括百位）是幾，就用原來的數(shù)去掉末位后減掉幾倍的末位，判斷余下的數(shù)是不是那個(gè)質(zhì)數(shù)的倍數(shù)就可以了。按照這樣的方法，你能找到一種判斷23的倍數(shù)的方法嗎？

七、還能再給力一點(diǎn)嗎？

判斷倍數(shù)的方法不止一種。例如：判斷7、11、13的倍數(shù)，還有一種公共方法：

規(guī)則：把一個(gè)數(shù)的末三位和其余部分分成兩段，用這兩段數(shù)字做差，如果結(jié)果是7或者11或者13的倍數(shù)，那么原來的數(shù)就是7或者11或者13的倍數(shù)。

例子：判斷54327是不是7、11、13的倍數(shù)。

解：

• 將54327分成兩段，分別是54和327,?將兩段做差：327-54=273；

• 判斷273是不是7的倍數(shù)，用去掉末位減去末位2倍的方法：27-3x2=21，21是7的倍數(shù)，所以273、54327是7的倍數(shù)。

• 判斷273是不是11的倍數(shù)，用奇、偶位數(shù)和做差的方法：2+3-7=-2，-2不是11的倍數(shù)，所以273、54327不是11的倍數(shù)。

• 判斷273是不是13的倍數(shù)，用去掉末位減去末位9倍的方法：27-3x9=0，0是13的倍數(shù)，所以273、54327是13的倍數(shù)。

• 綜上，54327是7和13的倍數(shù)，但不是11的倍數(shù)。

反復(fù)使用這種方法，可以讓一個(gè)很大的數(shù)變成3位以內(nèi)，再用之前的方法判斷是否是7、11、13的倍數(shù)就可以了。

為什么這種方法是正確的？我提示一下：1001=7x11x13，試試看，你自己能不能給出在證明？

利用同樣的規(guī)律，我們知道2001=3x23x29，你能自己再找到一個(gè)判斷23、29倍數(shù)的方法嗎？

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