2.利用量綱來分析高斯積分

2023-08-17 16:54 作者:awyayb 0人讀過 | 我要投稿

? 量綱分析在積分中的應(yīng)用，這篇就用正態(tài)分布的高斯積分來舉例子。

? 正態(tài)分布（Normal Distribution），高斯分布（Gaussian Distribution），是一個(gè)常見的連續(xù)概率分布。 $%5Cchi%20$ 服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為 $%5Cmu%20$ 、方差為 $%5Csigma%20%5E2$ 的正態(tài)分布，則記為 $%5Cchi%20%5Csim%20N(%5Cmu%20%2C%5Csigma%20%5E2)$ 。其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布,而期望值 $%5Cmu%20$ 和標(biāo)準(zhǔn)差 $%5Csigma%20$ 決定了其位置，分布的幅度。并且正態(tài)分布的圖形形似大鐘所以又稱鐘形曲線。

以下為正態(tài)分布函數(shù)：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $f(%7Bx)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Csigma%20%7D%20%5Ccdot%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B(x-%5Cmu)%5E2%7D%7B2%5Csigma%20%5E2%7D%20%7D$

? 那么在概率中我們知道概率總和為1，所以可以得知:? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20f%7B(x)%7Ddx%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Csigma%20%7D%20%5Ccdot%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B(x-%5Cmu)%5E2%7D%7B2%5Csigma%20%5E2%7D%20%7Ddx%3D1$

? 由于函數(shù)是關(guān)于 $x$ 的函數(shù)，所以為了簡(jiǎn)便計(jì)算先令 $2%5Csigma%20%5E2%3Da%2C%5Cmu%3D0$ 得到新的積分? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%20%7D%5Csigma%20%7D%20%5Ccdot%20%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%5Csigma%5E2%20%7D%20%7Ddx%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%20%7D%7D%20%5Ccdot%20e%5E%7B-(%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%20a%7D)%20%5E%7B2%7D%7Dd(%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%20a%7D)%3D1$ ?? ? ? ??

令 $%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Ba%7D%7D%3Dt$ ,接下來只需要證明? $I%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-t%20%5E%7B2%7D%7Ddt%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D$ ? 即可。

? 那么可以看到被積函數(shù) $e%5E%7B-t%5E2%7D$ 并不能找到原函數(shù)但是由于 $e%5Ea%5Ccdot%20e%5Eb%3De%5E%7Ba%2Bb%7D$ 且可以利用 $a%5E2%2Bb%5E2%3Dr%5E2$ 來進(jìn)行極坐標(biāo)換元，所以先考慮積分的平方：

$I%5E2%3D(%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-t%20%5E%7B2%7D%7Ddt)%5E2%3D(%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-x%5E%7B2%7D%7Ddx)(%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-y%20%5E%7B2%7D%7Ddy)%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-x%5E2%2By%5E2%7Ddxdy$

? 接下來進(jìn)行極坐標(biāo)換元 $x%5E2%2By%5E2%3Dr%5E2%5C%20%2C%5C%20dxdy%3Drdrd%5Ctheta%20$ ?

? 得到積分 $I%5E2%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20re%5E%7B-r%20%5E%7B2%7D%7Ddrd%5Ctheta%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-r%20%5E%7B2%7D%7Ddr%5E2d%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20-e%5E%7B-r%20%5E%7B2%7D%7D%5Cvert%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B0%7D%20d%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D1%20d%5Ctheta%3D%5Cpi$

? 所以可以輕易得到? $I%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D$ 。

? 那如果令 $g(%5Csigma%2C%5Cmu)%20%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B(x-%5Cmu)%5E2%7D%7B2%5Csigma%20%5E2%7D%20%7Ddx%3D%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Csigma$ ，可以直觀的看到積分值與 $%5Csigma%20$ 有關(guān)，但是和 $%5Cmu$ 的取值無關(guān)。那么可以提出以下三個(gè)問題，作為正態(tài)分布中的隨機(jī)變量 $x%0A$ ，為什么在與 $%5Cmu%0A$ 做加減的時(shí)候不影響積分值，而 $x$ 在和 $%5Csigma%20$ 做乘除的時(shí)候影響了最終的積分值。

? 令 $F'(%7Bx%7D)%3Df%7B(x%7D)$ ,先來考慮 $%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20f%7B(x%7D)dx$ 這樣的積分如果在自變量上做加減乘除的話會(huì)得到 $%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20f%7B(mx%2Bn%7D)dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%20%5Cint_%7Ba%2Bn%7D%5E%7Bb%2Bn%7D%20f(%7Bmx%7D)d(mx)$ 也就是說可以直觀的發(fā)現(xiàn)和自變量做加減法只是在積分區(qū)間 $%5Ba%2Cb%5D%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E5%88%B0%5Ba%2Bn%2Cb%2Bn%5D$ 如果將積分區(qū)域擴(kuò)大到 $%5B-%5Cinfty%2C%2B%5Cinfty%5D%0A$ 上，那么自變量的加減將不影響函數(shù)值。而對(duì)自變量的乘除則是伸縮，所以積分之前有了 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D$ 這一項(xiàng)。根據(jù)上一篇文章所說，量綱是相乘的，所以在對(duì)自變量的操作中加減并不改變自變量的量綱并且只有兩個(gè)量綱相同的數(shù)才能相加減，只有乘除才會(huì)改變自變量原有的量綱?？梢园l(fā)現(xiàn)沒有積分得到的常數(shù)是無量綱數(shù)所以當(dāng) $x$ 變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=mx" alt="mx">時(shí)量綱也會(huì)發(fā)生變化 $L%5Cimplies%20%5Bm%5DL$ ，所以需要在積分前補(bǔ)上 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D$ 來平衡掉 $d(mx)$ 中的量綱 $%5Bm%5D$ 。

? 那么回到高斯積分 $%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Ba%20%5Cpi%20%7D%7D%20%5Ccdot%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%20a%7D%7Ddx$ 。首先分析量綱，可以發(fā)現(xiàn)，超越函數(shù)本身是無量綱數(shù)，所以 $%5Be%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%7D%7D%5D%3D1$ ?，可以進(jìn)一步推出 $%5B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%7D%5D%3D1%5Cimplies%20%5Bx%5D%3D%5B%5Csqrt%20%7Ba%7D%5D$ ?。那么對(duì)于積分可以發(fā)現(xiàn)積分中 $%5Bdx%5D%3D%5Bx%5D$ ，也就是說積分的量綱變?yōu)榱?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Bx%5D" alt="%5Bx%5D">?。但是在概率中，概率所代表的量綱是無量綱數(shù)所以在積分中必須想辦法來平衡掉多出來的量綱 $%5Bx%5D$ ，這時(shí)候把目光放在剛才的式子 $%5Bx%5D%3D%5B%5Csqrt%7Ba%7D%5D$ ，既然不能在積分中隨意添加自變量，那么就用 $a$ 來平衡其中的量綱。所以會(huì)在積分前面乘一個(gè) $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Ba%7D%7D$ 來平衡量綱，也就是說當(dāng)我們第一次看見這個(gè)積分的時(shí)候也可以利用量綱來分析出 $I%3D%5Cfrac%7BC%7D%7B%5Csqrt%7Ba%7D%7D%5C%20%5C%20%5C%20(C%5C%20is%5C%20constant)$ 。

??接下來可以嘗試推廣一下，在計(jì)算形如 $I%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-ax%5E2%2Bbx%7Ddx$ ?的積分時(shí),可以首先考慮配方 $-ax%5E2%2Bbx%3D-a(x-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D)%5E2%2B%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4a%7D$

就可以得到 $%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B2a%7D%7D%5Ccdot%20e%5E%7B-a(x-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D)%5E2%7Ddx$ ，也就是換到了上述積分的樣子就可以輕易得到 $I%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Ba%7D%7D%20%5Ccdot%20e%5E%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4a%7D$ 。

? 這時(shí)候再用量綱來進(jìn)行一個(gè)分析，由于量綱相同的量才可以相加減，所以可以得到 $%5Bax%5E2%5D%3D%5Bbx%5D%3D1%5Cimplies%20%5Bx%5D%3D%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Ba%7D%7D%5D%3D%5B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D%5D$ ? 為了平衡 $%5Bx%5D$ ，必須要乘 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Ba%7D%7D%5C%20%5C%20%E6%88%96%5C%20%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D$ 來使整個(gè)積分量綱為 $1$ 。而且可以發(fā)現(xiàn)在其他的方出現(xiàn)的 $a$ 和 $b$ ，都是以 $(%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csqrt%7Ba%7D%7D)%5Ek$ 出現(xiàn)的，也就是說其他的方只能出現(xiàn)量綱平衡的數(shù)來保持積分值的量綱。