該題是我在做另一題時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)的，那道題本身并不需要該題為結(jié)論，從而我也不知道該題的標(biāo)答. 該題的圖形看起來十分基本(也許就是某個(gè)結(jié)論?可我并未查到，有知道的歡迎指出)，但我問了許多朋友，他們都未能找到純幾法. 我在嘗試諸多次后終于找到一個(gè)方法(可惜不像題目本身那么簡潔)，下面看題：

emm，有北極點(diǎn)和內(nèi)心，自然先標(biāo)出南極點(diǎn)并連線. 現(xiàn)在不知道這步有沒有用，但看起來確實(shí)會(huì)舒服些.

事實(shí)上，圖形中除了E,F外都是基本點(diǎn)，于是考慮從E,F入手. 而F目前基本啥關(guān)系都找不到(雖然容易找到與△IDF相似的三角形，但其比例式無法轉(zhuǎn)化). 那么看E，作為圓上的點(diǎn)，自然嘗試導(dǎo)角. 故由∠IAE=∠SNE＝∠NDI，知AIDE共圓.?

此時(shí)幾乎在原圖中找不到任何關(guān)系了，接下來是整道題最關(guān)鍵的一步：由于我們要證F在AE上，而AE是△ABC外接圓(下文簡稱圓1)與△ADE外接圓(簡稱圓2)的根軸.?圓2目前過于狹隘，為盡可能使其與F產(chǎn)生聯(lián)系，我們?cè)O(shè)圓2再交BC于G. 此時(shí)恰好也有NAG共線

NF此時(shí)仍然難以與其他線段產(chǎn)生聯(lián)系. 如果結(jié)論成立，則DF·FG=AF·FE. 為使該式有意義，我們可以想到延長NF交圓與L. 于是DF·FG=NF·FL，L在△NDG外接圓上(簡稱圓3). 這樣也才把F聯(lián)系了起來.?

反過來，如果L在圓3上，則NL,AE,DG分別為圓1與圓3,圓1與圓2,圓2與圓3的根軸，由根心定理知結(jié)論成立. 從而我們只需證：L在圓3上.

現(xiàn)在我們已經(jīng)擺脫了E,F的約束，只剩下一個(gè)稍微難搞的L. 于是我們丟掉L來等價(jià)描述該命題，也即證：I對(duì)圓1與圓3的冪相等.

I對(duì)圓1的冪顯然取-AI·IS. 接下來要尋找I對(duì)圓3的冪. 由于已有現(xiàn)成的連線DI，很容易想到延長DI交圓3于J.

下面的做法很顯然了. 注意到JNSI是平行四邊形，有JI=NS. 于是只需證NS·DI＝AI·IS. 事實(shí)上，這是熟知的. 實(shí)在不知道的同學(xué)看下圖就明白了.

綜上，證畢！