在單位球x^2+y^2+z^2=1的表面放一系列點(diǎn)，滿(mǎn)足任意兩點(diǎn)間距離不小于√2，求能放的點(diǎn)數(shù)的最大值．

從直觀感受來(lái)講，下述放法已是非常致密的一種，此時(shí)點(diǎn)數(shù)為6：

為了嚴(yán)謹(jǐn)，我們證明6就是最大值，

容易想到使用抽屜原理：我們將球面劃分成六個(gè)部分，在每個(gè)部分內(nèi)兩點(diǎn)間最大距離都小于√2，這樣便完成了問(wèn)題．

首先，放置第一個(gè)點(diǎn)（球是高度對(duì)稱(chēng)的，不必糾結(jié)第一個(gè)點(diǎn)的位置），那么顯然，以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的半球（不包括邊界）界不能再放置其他點(diǎn)，記這個(gè)區(qū)域?yàn)閰^(qū)域1：

對(duì)于另一個(gè)半球，如何將其劃分為互不相交的五塊呢？1/8球面是一種理想的構(gòu)造，我們將其劃出如下的又4個(gè)區(qū)域：

對(duì)于每個(gè)1/8球面，與半球面相交弧部分屬于本區(qū)域，左方的弧屬于本區(qū)域，這兩條弧的公共點(diǎn)也屬于本區(qū)域，這四個(gè)區(qū)域呈順時(shí)針排列。通俗的講，在它周?chē)娜龡l弧和三個(gè)點(diǎn)，它占有兩條弧與一個(gè)點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)，它是我們想要的構(gòu)造。

至于最后一個(gè)區(qū)域，想必讀者也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)1的“對(duì)頂點(diǎn)”，區(qū)域2、3、4、5所在半球的頂點(diǎn)：

我們成功構(gòu)造了設(shè)想中的區(qū)域分劃，使用抽屜原理即可。

筆者前兩天發(fā)現(xiàn)了這個(gè)有趣的問(wèn)題，與同校交流后得到了成功的構(gòu)造，并又得到了幾個(gè)衍生的問(wèn)題，供讀者思考：

1．在單位球x^2+y^2+z^2=1的表面放一系列點(diǎn)，滿(mǎn)足任意兩點(diǎn)間距離不小于1，求能放的點(diǎn)數(shù)的最大值．

2．在單位球x^2+y^2+z^2=1的表面放一系列點(diǎn)，滿(mǎn)足任意兩點(diǎn)間距離不小于√5/2-1/2，求能放的點(diǎn)數(shù)的最大值．

他們正是從球心觀察，張角為60度與36度的情況．

許羅旸 2023年8月16日