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Lebesgue方法——復(fù)習(xí)筆記Day118.1.1

2023-04-03 21:44 作者:間宮_卓司 0人讀過(guò) | 我要投稿

從這期開(kāi)始講一些方法，這些方法可能在考試中不怎么常用，但是都是我覺(jué)得比較有意思的。

在右下角我放了一張二刺螈的圖片，假裝自己有一個(gè)虛擬形象

想要知道 $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 方法是什么，不妨先看一道例題感受一下

例1 證明有限覆蓋定理

假設(shè) $%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是閉區(qū)間 $%5Ba%2Cb%5D$ 的一個(gè)開(kāi)覆蓋，現(xiàn)在要證明 $%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的有限個(gè)元素就能覆蓋 $%5Ba%2Cb%5D$ ，記 $A%3D%5Cleft%5C%7B%20x%7C%5Cleft%5B%20a%2Cx%20%5Cright%5D%20%5Ctext%7B%E8%83%BD%E8%A2%AB%7D%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20%5Ctext%7B%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%9C%89%E9%99%90%E4%B8%AA%E5%85%83%E7%B4%A0%E8%A6%86%E7%9B%96%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ ，那么首先 $A$ 是非空的，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%0A" alt="%0A"> $%5Ba%2Ca%5D%3D%5C%7Ba%5C%7D$ 是一個(gè)單點(diǎn)集，顯然能被 $%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的某個(gè)元素覆蓋，接下來(lái)假設(shè) $%5Cxi%3D%5Csup%20A$ ，為了證明結(jié)論，只需要證明 $%5Cxi%5Cge%20b$ 就好了。

如果結(jié)論不成立，不妨設(shè) $%5Cxi%3Cb$ ，那么此時(shí)， $A%3D%5Ba%2C%5Cxi)%E6%88%96%5Ba%2C%5Cxi%5D$ ，無(wú)論是哪種情況，都可以找到 $%5Cxi%20%5Cin%20%5Cleft(%20a_0%2Cb_0%20%5Cright)%20%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ ，此時(shí)有 $a_0%3C%5Cxi$ ，而根據(jù) $A$ 的定義，可以找到 $%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的有限個(gè)元素，使其覆蓋 $%5Cleft%5B%20a%2Ca_0%2B%5Cfrac%7B%5Cxi%20-a_0%7D%7B2%7D%20%5Cright%5D%20$ ，那么這有限個(gè)元素再加上 $%5Cleft(%20a_0%2Cb_0%20%5Cright)$ ，就構(gòu)成了 $%5Cleft%5B%20a%2Cb_0%2B%5Cfrac%7Bb_0-%5Cxi%7D%7B2%7D%20%5Cright%5D%20$ 的一個(gè)有限覆蓋，這與 $A$ 的定義矛盾，所以結(jié)論得證

從這個(gè)例子中可以看出， $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 方法有點(diǎn)類似于數(shù)學(xué)歸納法，其基本思路可以理解成：為了證明某個(gè)結(jié)論，就假設(shè)這個(gè)結(jié)論成立的結(jié)論的最大集合是 $A$ ，然后首先證明這個(gè)結(jié)論成立的集合是非空的，然后通過(guò)確界存在定理，將這個(gè)結(jié)論適用的范圍不斷向外延展，延展到結(jié)論被證明為止

這個(gè)證明方法是我在謝惠民上面看到的， $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 方法也是上面介紹的

例2?如果函數(shù) $f(x%2Cy)$ 在區(qū)域 $D%5Csubset%20R%5E2$ 上的偏導(dǎo)數(shù)為0，那么它在 $D$ 上一定是常值函數(shù)

這是陳紀(jì)修上冊(cè)的一個(gè)推論，這里的區(qū)域指的是連通的開(kāi)區(qū)域

在證明這個(gè)結(jié)論之前，已經(jīng)證明了這個(gè)結(jié)論在凸區(qū)域上是成立的了，現(xiàn)在想要證明這個(gè)結(jié)論，和證明凸區(qū)域的情況一樣，就要證明任取兩個(gè)點(diǎn) $x_1%2Cx_2$ ，證明這兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值是相同的。為了證明這個(gè)結(jié)論，一個(gè)很直觀的想法是從 $x_1$ 出發(fā)，那么 $x_1$ 在 $D$ 內(nèi)的某個(gè)鄰域上所有的點(diǎn)的函數(shù)值都和 $x_1$ 相等，再?gòu)泥徲蛑羞x取一個(gè)較為“接近” $x_2$ 的點(diǎn)，那個(gè)點(diǎn)又可以得到一個(gè)鄰域，那個(gè)鄰域上所有的點(diǎn)的函數(shù)值都和 $x_1$ 相等，然后又可以找到更為“接近” $x_2$ 的點(diǎn)···以此類推不斷地做下去，就可以證明 $x_1%2Cx_2$ 處的函數(shù)值相等了

現(xiàn)在用 $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 方法來(lái)嚴(yán)格證明這個(gè)結(jié)論，首先將 $x_1%2Cx_2$ 通過(guò)使得 $%5Cgamma%20%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3Dx_1%2C%5Cgamma%20%5Cleft(%201%20%5Cright)%20%3Dx_2$ 的連續(xù)函數(shù) $%5Cgamma%20%3A%5Cleft%5B%200%2C1%20%5Cright%5D%20%5Crightarrow%20D$ 連接起來(lái)，然后記

$A%3D%5Cleft%5C%7B%20y%7Cf%5Cleft(%20%5Cgamma%20%5Cleft(%20t%20%5Cright)%20%5Cright)%20%3Df%5Cleft(%20x_1%20%5Cright)%20%2Ct%5Cin%20%5Cleft%5B%200%2Cy%20%5Cright%5D%20%5Cright%5C%7D%20$ ，那么首先 $A$ 是非空的，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=0%5Cin%20A" alt="0%5Cin%20A">，為了證明結(jié)論，只需要證明 $%5Csup%20A%3D1$ 就好了。如果結(jié)論不成立的話，設(shè) $%5Csup%20A%3Dt_0%3C1$ ，那么首先依連續(xù)性（注意 $f$ 的偏導(dǎo)是連續(xù)的，所以 $f$ 是可微的，自然也是連續(xù)的），有 $A%3D%5Cleft%5B%200%2Ct_0%20%5Cright%5D%20$ ，又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=D" alt="D">是開(kāi)集，里面所有的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，且 $%5Cgamma$ 連續(xù)，所有存在充分小的 $%5CDelta%20t$ ，使得 $%5Cgamma(t_0)$ 以 $%5Cgamma%20%5Cleft(%20t_0%2B%5CDelta%20t%20%5Cright)%20-%5Cgamma%20%5Cleft(%20t_0%20%5Cright)%20$ 為半徑的圓形區(qū)域在 $D$ 內(nèi)，這意味著 $%5Csup%20A%5Cge%20t_0%2B%5CDelta%20t$ ，矛盾