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對(duì)于模擬股票價(jià)格，幾何布朗運(yùn)動(dòng) (GBM) 是?事實(shí)上的首選?模型。

它有一些很好的屬性，通常與股票價(jià)格一致，例如對(duì)數(shù)正態(tài)分布（因此向下限制為零），并且期望收益不取決于價(jià)格的大小。

當(dāng)然，GBM 只是一個(gè)模型，沒有一個(gè)模型可以完美地代表現(xiàn)實(shí)。特別是，GBM 使用恒定波動(dòng)率，這顯然與現(xiàn)實(shí)不符。它也沒有考慮跳躍，例如由新聞引起的跳躍。

盡管有這些限制，GBM 仍然是對(duì)股票價(jià)格行為進(jìn)行建模的有用起點(diǎn)。特別是，它非常有助于建立對(duì)各種金融概念的直覺——尤其是期權(quán)定價(jià)。

通常，當(dāng)我們對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行建模時(shí)，我們的用例需要運(yùn)行大量模擬以生成可能結(jié)果的分布。

由于這樣的用例需要多次運(yùn)行 GBM 模擬器，因此考慮優(yōu)化代碼以提高速度是值得的。少量的深思熟慮可以節(jié)省大量的時(shí)間。

當(dāng)然，您要避免提早優(yōu)化的誘惑，以免花費(fèi)更多時(shí)間優(yōu)化代碼，而不是優(yōu)化本身節(jié)省的時(shí)間。

在這篇文章中，我將展示兩種使用 GBM 模擬價(jià)格路徑的方法：

• 使用??循環(huán)迭代價(jià)格路徑的數(shù)量和每個(gè)路徑中的時(shí)間步數(shù)

• 向量化，我們一次對(duì)整個(gè)向量或矩陣進(jìn)行操作

基于循環(huán)的 GBM 模擬

?下面是在嵌套循環(huán)中運(yùn)行 GBM 模擬的一些代碼?：

100 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng) 50 次，年化波動(dòng)率為 10%，偏移為 0，起始價(jià)格為 100，我得到的價(jià)格路徑如下所示：

這看起來(lái)像是上面指定的參數(shù)所描述的隨機(jī)價(jià)格過(guò)程的合理表示。這個(gè)循環(huán)實(shí)際上運(yùn)行得很快。

如果我們要求它進(jìn)行 50,000 次模擬，讓我們看看運(yùn)行得有多快：

大約十秒鐘。

GBM 模擬的矢量化方法

R 中的許多操作都是矢量化的——這意味著操作可以在后臺(tái)并行發(fā)生，或者至少可以使用用 C 編寫的、對(duì)用戶隱藏的緊密循環(huán)運(yùn)行得更快。

向量化的經(jīng)典例子是兩個(gè)向量的元素相加。這種操作的 for 循環(huán)版本如下所示：

通過(guò)矢量化，我們可以簡(jiǎn)單地做到：

R 中的許多操作都是矢量化的——事實(shí)上，R 的設(shè)計(jì)就是考慮到這一點(diǎn)。

讓我們?cè)谖覀兊?GBM 模擬中對(duì)一個(gè)操作進(jìn)行矢量化來(lái)演示。

不像我們?cè)谘h(huán)版本中那樣為每天的每個(gè)模擬生成一個(gè)新的隨機(jī)數(shù)，我們將在一開始就生成一個(gè)包含整個(gè)模擬所需的所有隨機(jī)數(shù)的矩陣。這就是下面代碼中的矩陣??。

然后，我們可以在單個(gè)操作?中?將該矩陣轉(zhuǎn)換??為具有我們所需參數(shù)的 GBM 的實(shí)現(xiàn)。

作為最后一步，我們將給定的初始價(jià)格添加??到每個(gè)模擬的第一個(gè)元素，然后我們通過(guò)時(shí)間累積產(chǎn)品來(lái)獲得我們的價(jià)格路徑。

這是代碼：

如果我運(yùn)行 50 次，我會(huì)得到如下所示的價(jià)格路徑：

讓我們模擬50,000 條價(jià)格路徑，看看我們是否在循環(huán)版本中獲得了加速：

這是一個(gè)數(shù)量級(jí)加速的最佳部分。

GBM 模擬器可以用來(lái)做什么？

鑒于我們的模型假設(shè)，我們可以使用它來(lái)估計(jì)未來(lái)某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的價(jià)格分布：

從那里，估計(jì)被模擬股票期權(quán)的?概率加權(quán)收益曲線?，比如一個(gè)?看漲期權(quán)?在 105 處執(zhí)行（同樣，考慮到我們的模型假設(shè)，并忽略遠(yuǎn)期利率和股息）：

最后，我們可以通過(guò)對(duì)概率加權(quán)收益曲線下的面積求和來(lái)獲得期權(quán)的期望值：

結(jié)論

幾何布朗運(yùn)動(dòng)模擬器是您開始對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行建模時(shí)首先使用的工具之一。

特別是，它是一個(gè)有用的工具，可以幫助您建立?期權(quán)定價(jià)等概念。

利用 R 的矢量化工具，我們可以立即運(yùn)行數(shù)以萬(wàn)計(jì)的模擬。

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