【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學(xué)叢書』其實(shí)還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學(xué)基礎(chǔ)自學(xué)內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學(xué)的一條龍數(shù)理化自學(xué)教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因?yàn)?677版保留了很多古早知識(shí)，讓我終于搞明白了和老工程師交流時(shí)遇到的奇特專業(yè)術(shù)語和計(jì)算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風(fēng)險(xiǎn)極小，即使出版社再版也只會(huì)再版80年代改開版。我認(rèn)為6677版不失為一套不錯(cuò)的自學(xué)教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時(shí)間，將『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』上傳成文字版。?

第五章變速直線運(yùn)動(dòng)

§5-3勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度和路程

【01】上面我們講了勻變速直線運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是：它在任意相等時(shí)間內(nèi)速度的改變總是相等的?，F(xiàn)在我們來討論勻加速直線運(yùn)動(dòng)的速度和路程。

【02】為了使讀者容易了解起見，我們把勻加速直線運(yùn)動(dòng)分為兩類：一類是物體從靜止開始（即初速度為零）作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，即初速度等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；另一類是初速度不等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在先來討論第一類。

1、初速度等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)

【03】首先，我們要再重復(fù)講一遍，勻加速直線運(yùn)動(dòng)是在任何相等的時(shí)間內(nèi)速度的增加都相等的運(yùn)動(dòng)，也就是說，它的加速度是不變的。

【04】讓我們?cè)O(shè)想有一列火車從某車站開出，作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度是0.2米/秒2，也就是說火車的速度每1秒鐘增加0.2米/秒。所以火車在各秒鐘末的速度是：

第1秒末：v?=0+0.2米/秒=0.2米/秒=0.2米/秒2×1秒；

第2秒末：v?=0.2米/秒+0.2米/秒=0.4米/秒=0.2米/秒2×2秒；

第3秒末：v?=0.4米/秒+0.2米/秒=0.6米/秒=0.2米/秒2×3秒；

……

第t秒末：vt=0.2米/秒2×t 秒。

【05】這樣，如果用a代表加速度，則第t秒末的速度就可以用下式來表示：vt=at 。一般把vt寫作v，則

【06】這就是初速度等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式。應(yīng)用這個(gè)公式可以計(jì)算任何時(shí)刻的速度。必須明確，這個(gè)公式中的t代表經(jīng)過的時(shí)間，v是這一時(shí)間終了時(shí)的即時(shí)速度。例如如果t代表5秒，那么v就是5秒末的即時(shí)速度，而不是任何其他時(shí)刻的即時(shí)速度。

【07】我們?cè)賮碛懻撍穆烦坦?。在本章?-1中，根據(jù)公式(5·2)已經(jīng)知道，作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間t內(nèi)所通過的路程，等于它的平均速度和這段時(shí)間t的乘積。現(xiàn)在物體的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度的增加是均勻的，因此，在某一段時(shí)間內(nèi)的平均速度應(yīng)該等于物體在這段時(shí)間內(nèi)的初速度和末速度的平均值。既然物體的初速度等于零，第t秒末的速度等于v，那么，它在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度就應(yīng)該等于?。再用公式(5·3)v=at，得

【08】這就是初速度等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式。應(yīng)用這個(gè)公式，我們可以求出在任何一段時(shí)間內(nèi)物體所通過的路程。公式(5·4)告訴我們，在初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)中，物體通過的路程總跟時(shí)間的平方成正比，例如時(shí)間增為兩倍，路程將增為4倍，時(shí)間增為3倍，路程將增為9倍。我們常常根據(jù)這個(gè)關(guān)系來檢驗(yàn)物體的運(yùn)動(dòng)是不是初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

【09】公式(5·3)和(5·4)就是初速度等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。這里包含了四個(gè)物理量：v、a、t、S。知道其中任何兩個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)。所以關(guān)于這種運(yùn)動(dòng)的一切問題，都可以用它們來解答。

【10】把公式(5·3)和(5·4)中的t消去后，可得

【11】這個(gè)導(dǎo)出公式在解題時(shí)也經(jīng)常用到，因?yàn)閷?duì)于解某些問題（例如不需要求時(shí)間的題目)，直接應(yīng)用這個(gè)公式就比較方便一些。

2、初速度不等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)

【12】設(shè)想一列火車在平直的軌道上用10米/秒的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，后來行駛到一個(gè)斜坡，改以0.2米/秒2的加速度沿著斜坡向下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。它的速度是每秒鐘增加0.2米/秒，因此它在各秒末的速度是：

第1秒末：v?=10米/秒+0.2米/秒=10.2米/秒=10米/秒+0.2米/秒2×1秒；

第2秒末：v?=10.2米/秒+0.2米/秒=10.4米/秒=10米/秒+0.2米/秒2×2秒；

第3秒末：v?=10.4米/秒+0.2米/秒=10.6米/秒=10米/秒+0.2米/秒2×3秒；

……

第t秒末：v?=10米/秒+0.2米/秒2×t秒。

【13】如果用v?代表它原來作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度（即初速度），a代表加速度，則根據(jù)上面的分析，我們得到一般把vt寫做v，則

【14】這就是初速度不等于零的勻加速運(yùn)動(dòng)的速度公式。可以看出，如果初速度等于零（即v?=0），它就是公式(5·3)。

【15】我們?cè)賮硗茖?dǎo)它的路程公式。仿照公式(5·4)的推導(dǎo)，既然初速度是v?，第t秒末的速度是v，則在這段時(shí)間t內(nèi)的平均速度為所以它在這段時(shí)間內(nèi)所通過的路程

【16】這就是初速度不等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式?？梢钥闯?，如果初速度等于零（即v?=0），它就是公式(5·4)。

【17】公式(5·6)和(5·7)是初速度不等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，應(yīng)用這二個(gè)公式，就可以解決這種運(yùn)動(dòng)的有關(guān)問題。

【18】把公式(5·6)和(5·7)中的t消去后，可得

【19】勻減速直線運(yùn)動(dòng)和勻加速直線運(yùn)動(dòng)相反，速度在均勻地減小，即在任何相等時(shí)間內(nèi)，速度的減小是相等的。速度既然減小，也就是加速度是負(fù)的。如果用a表示加速度的絕對(duì)值，那么，只要把上面勻加速運(yùn)動(dòng)的一系列公式中a前面的加號(hào)改成減號(hào)，就可以得到勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式【有關(guān)勻減速運(yùn)動(dòng)的計(jì)算也可以應(yīng)用勻加速運(yùn)動(dòng)公式（即(5·6)、(5·7)、(5·8)，但a應(yīng)以負(fù)值代入】，即：

【20】再有，從公式(5·6)和(5·7)中可以了解：應(yīng)用上一章所講的運(yùn)動(dòng)的合成，可以把初速度為v?、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，看作是一個(gè)速度為v?的勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。同樣地，從公式(5·9)和(5·10)中可以看出，也可以把勻減速直線運(yùn)動(dòng)看作是一個(gè)速度為v?的勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)初速度為零、加速度為負(fù)a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

例3.火車從車站出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)行駛到離車站600米遠(yuǎn)的地方，它的速度是27公里/小時(shí)。試計(jì)算所用的時(shí)間和它的加速度。

【21】做有關(guān)物體運(yùn)動(dòng)的習(xí)題時(shí)，往往有好幾種解法，究竟用哪一種解法好，那要看哪種解法比較簡(jiǎn)便，就用哪種解法。本題所用的兩種解法都是一樣的，沒有簡(jiǎn)繁可言。但用第二種解法時(shí)，讀者必須注意，求t時(shí)不能用a的近似值0.05米/秒2代入，而是要用它的正確值15/320米/秒2代入，否則求出來的t也是一個(gè)近似值了。嚴(yán)格地講，求t時(shí)應(yīng)該這樣地來做：

【22】讀者還可以用其他方法來解，例如求出t后，用S=1/2at2求a。

例4.試證明：在初速度為零、加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)中，(1)物體在1秒鐘內(nèi)、2秒鐘內(nèi)、3秒鐘內(nèi)……所通過的路程之比為1:4:9：……；(2)物體在第1秒鐘內(nèi)、第2秒鐘內(nèi)、第3秒鐘內(nèi)……所通過的路程之比為1:3:5:……。

【解】用公式S=1/2at2? 。

(1)設(shè)S?、S?、S?……分別表示物體在1秒鐘內(nèi)、2秒鐘內(nèi)、3秒鐘內(nèi)……所通過的路程，則

(2)設(shè)SⅠ、SⅡ、SⅢ……分別表示物體在第1秒鐘內(nèi)、第2秒鐘內(nèi)、第3秒鐘內(nèi)……所通過的路程。所謂物體在第2秒鐘內(nèi)所通過的路程，意思就是物體在第2秒這一秒時(shí)間內(nèi)所通過的路程，它應(yīng)該等于物體在最初2秒鐘內(nèi)通過的路程，減去物體在最初1秒鐘內(nèi)通過的路程。同樣地，物體在第3秒鐘內(nèi)所通過的路程，應(yīng)該等于物體在最初3秒鐘內(nèi)通過的路程，減去物體在最初2秒鐘內(nèi)通過的路程。因此，

【23】以上證明的兩個(gè)關(guān)系，是物體作初速度等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)；一般地說，如果物體的運(yùn)動(dòng)具有這些特點(diǎn)，它就可能是初速度等于零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

習(xí)題5-3

1、一個(gè)物體從靜止開始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度等于5厘米/秒2。試計(jì)算20秒鐘后的速度和通過的路程?！?米/秒，10米】

2、一個(gè)物體從靜止開始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度是a=8厘米/秒2，經(jīng)過一段時(shí)間之后，它的速度達(dá)到了v=80厘米/秒。試計(jì)算所用的時(shí)間和在這段時(shí)間內(nèi)所通過的路程。【10秒，4米】

3、火車用54公里/小時(shí)的速度前進(jìn)，如果現(xiàn)在突然緊急剎車使它停止，需要15秒鐘以后才能使它停下來。試計(jì)算它所經(jīng)過的路程和加速度?！?12.5米，-1米/秒2】

4、讓扔出去的石子在水平的冰面上滑動(dòng)，剛開始滑動(dòng)時(shí)，它的速度是12米/秒。如果石子的加速度是-0.6米/秒2，則石子從開始在冰上滑動(dòng)到停止滑動(dòng)，共需要多長時(shí)間？走了多少路程？滑動(dòng)的平均速度是多少？[提示：應(yīng)用勻減速運(yùn)動(dòng)公式時(shí)加速度a應(yīng)取正值，即a=0.6米/秒2]【20秒，120米，6米/秒】

5、有騎自行車的甲、乙兩人，甲用18公里/小時(shí)的初速度、-20厘米/秒2的加速度從山腳向山頂進(jìn)行，乙用5.4公里/小時(shí)的初速度、0.2米/秒2的加速度從山頂向山腳進(jìn)行。從山頂?shù)缴侥_的距離是195米。如果甲、乙兩人同時(shí)分別從山腳和山頂出發(fā)，問要經(jīng)多少時(shí)間兩人才相遇？兩人相遇時(shí)各走了多少路程？【30秒，60米，135米】

6、子彈在剛要射入樹干前的速度是400米/秒，射入樹干后在20厘米深處停止。假定子彈在樹干內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是勻減速的，計(jì)算子彈在其中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間、加速度和在10厘米深處的速度?！?.001秒，-400000米/秒2，≈283米/秒】