泰勒公式是一種基于微積分推導(dǎo)出來(lái)的近似計(jì)算的方法。泰勒公式的方便之處在于，它可以把原函數(shù)在估值點(diǎn)附近展開為一系列由原函數(shù)值、原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值還有系數(shù)的累加。泰勒公式不光可以應(yīng)用在一元函數(shù)的估值問(wèn)題上，還可以應(yīng)用于二元函數(shù)的估值問(wèn)題。關(guān)于一元和二元的泰勒公式的描述請(qǐng)看這條動(dòng)態(tài)。

本來(lái)像0.98的2.03次方這種數(shù)的估值，是大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程《微積分》的下冊(cè)的內(nèi)容，是大一下學(xué)期才會(huì)教的。高考要是考這種問(wèn)題，那是非常非常不合適的。但是誰(shuí)也不能保證高考出題者不會(huì)在2022年新課標(biāo)1卷比大小問(wèn)題的基礎(chǔ)上把題目難度更進(jìn)一步。所以我在刷視頻的時(shí)候發(fā)現(xiàn)2023年強(qiáng)基聯(lián)盟出的題就涉及到了這種本質(zhì)上屬于二元函數(shù)估值的問(wèn)題：

2.1的0.9次方，還有1.9的1.1次方，本質(zhì)上就是函數(shù)f(x,y)=x^y在(2.1,0.9)和(1.9,1.1)處的函數(shù)值。這兩個(gè)值是無(wú)法直接計(jì)算的，只能借助計(jì)算器。但考場(chǎng)上不允許使用計(jì)算器，所以我們用二元函數(shù)的泰勒公式進(jìn)行估算。

二元函數(shù)f(x,y)如果要計(jì)算在任意(x1,y1)處的函數(shù)值，可以把函數(shù)在(x1,y1)附近的(x0,y0)處進(jìn)行泰勒展開，得到一個(gè)可以直接計(jì)算的近似展開式。要求|x1-x0|<1且|y1-y0|<1，否則待求點(diǎn)的展開式的值誤差太大，估值效果不可接受。事實(shí)上，在(x0,y0)附近的滿足|x-x0|<1且|y-y0|<1的任何(x,y)值都可用。二元函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)處展開的泰勒公式可近似寫作：

f(x,y)≈f(x0,y0)+(fx)'(x0,y0)(x-x0)+(fy)'(x0,y0)(y-y0)

其中(fx)'(x,y)和(fy)'(x,y)分別是二元函數(shù)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)。所謂偏導(dǎo)數(shù)，就是二元函數(shù)f(x,y)只關(guān)于x或只關(guān)于y的導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)的時(shí)候把另一個(gè)變量看做常數(shù)。具體到f(x,y)=x^y這個(gè)函數(shù)，則它的偏導(dǎo)數(shù)分別為：

(fx)'(x,y)=yx^(y-1)

(fy)'(x,y)=x^y*ln(x)

則把f(x,y)在(2,1)附近展開時(shí)(其實(shí)就是x0=2，y0=1)：

f(x,y)≈f(2,1)+(fx)'(2,1)(x-2)+(fy)'(2,1)(y-1)=2^1+1*2^(1-1)*(x-2)+2^1*ln(2)*(y-1)=2+(x-2)+2ln(2)(y-1)

把待求的(2.1,0.9)和(1.9,1.1)帶入f(x,y)可得：

f(1.9,1.1)≈2+(1.9-2)+2ln(2)(1.1-1)=2-0.1+0.2ln(2)=2+0.2(ln(2)-0.5)
f(2.1,0.9)≈2+(2.1-2)+2ln(2)(0.9-1)=2+0.1-0.2ln(2)=2+0.2(0.5-ln(2))

這里涉及到ln(2)跟0.5的大小比較。如果沒(méi)記過(guò)ln(2)的值也沒(méi)關(guān)系（我就不記得）。只需要記得e≈2.718即可。有l(wèi)n(e^(0.5))=0.5，已知ln(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則要比較e^(0.5)與2的大小，可兩邊取平方比較，得到e<2^2=4，所以e^(0.5)<2，所以0.5=ln(e^(0.5))<ln(2)。

所以有：

f(1.9,1.1)≈2+0.2(ln(2)-0.5)>2+0.2*0=2
f(2.1,0.9)≈2+0.2(0.5-ln(2))<2+0.2*0=2
所以有：2.1^0.9<2<1.9^1.1。故c>a>c，此題選A。

說(shuō)句題外話：高考要是考這種東西，還不如堂堂正正把一元函數(shù)和二元函數(shù)的泰勒公式在高中課堂講了，反正單看計(jì)算過(guò)程和結(jié)論只用到導(dǎo)數(shù)就可以了。又不教，又要考，除了出題的腦子瓦特了，我想不出第二種解釋。