上一篇文章老黃分享了“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘正弦冪的不定積分”遞推公式，并且用遞推公式推導(dǎo)了其不定積分公式最終形態(tài)的特殊形式。

即當(dāng)參數(shù)a=b=1時(shí)的不定積分公式，如下圖：

這是成套公式中最簡(jiǎn)單的一個(gè)了。接下來(lái)老黃要由這個(gè)簡(jiǎn)單形式，拓展到a,b為任意實(shí)數(shù)的公式形式。它仍是基于“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘正弦冪的不定積分”遞推公式的。

因?yàn)槊窟f推一次，正弦就會(huì)降二次冪。所以當(dāng)正弦的指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，只要連續(xù)運(yùn)用這個(gè)遞推公式，最后就可以得到關(guān)于I0(a,b)的式子。而I0(a,b)=∫e^(ax)dx=e^(ax) /a.?代入式子中，就可以得到正弦偶指數(shù)時(shí)的不定積分公式了。

公式非常復(fù)雜，每一個(gè)系數(shù)的確定都特別燒腦。很容易就會(huì)出錯(cuò)。必須借助例題檢驗(yàn)，慢慢進(jìn)行校正。

例1：求∫e^(2x)*(sin3x)^4dx.

這道例題中，各參數(shù)分別為：a=2,b=3,n=4,k=2.?代入公式中仔細(xì)運(yùn)算化簡(jiǎn)，就可以得到答案了。關(guān)鍵是結(jié)果一定要檢驗(yàn)，否則幾乎一定會(huì)出錯(cuò)的。檢驗(yàn)一定要非常小心才行。對(duì)于老黃來(lái)說(shuō)，一旦檢驗(yàn)出錯(cuò)，就要回頭找一找自己的公式有沒(méi)有推導(dǎo)錯(cuò)誤，非常麻煩。整個(gè)過(guò)程花了老黃特別多的心血。

而當(dāng)正弦奇指數(shù)時(shí)，即當(dāng)n=2k+1時(shí)，就要先求I1(a,b)的不定積分公式。

因?yàn)楫?dāng)n=2k+1時(shí)，利用遞推公式進(jìn)行降冪，最后只能把正弦降到一次冪，得到關(guān)于I1的式子，所以必須如上圖，求出I1來(lái)。然后直接代入公式中，就可以了。

這里面有一個(gè)系數(shù)需要特別注意的，就是首項(xiàng)中的因式b^(n-1)，很容易錯(cuò)成b^(n-2).?接下來(lái)繼續(xù)利用例題校正公式。對(duì)于愛(ài)學(xué)習(xí)的小伙伴們，可以通過(guò)例題感受老黃推導(dǎo)的這個(gè)公式的強(qiáng)大。

例2：求∫e^(-2x)*(sin(x/3))^5dx.

這里的參數(shù)：a=-2, b=1/3, n=5, k=2，代入公式中仔細(xì)運(yùn)算化簡(jiǎn)，就可以得到答案了。

瞧上圖得到的這個(gè)結(jié)果。如果你不認(rèn)真檢驗(yàn)一下，你敢相信這么復(fù)雜的結(jié)果，求導(dǎo)之后得到的竟然會(huì)是原被積函數(shù)嗎？

最后再看一道例題：

例3：求∫e^(-2x)(sin2x)^2dx.

這道題有兩種解法可供選擇。解法一可用這里介紹的公式，其中a=-2, b=2, n=2, k=1.?解法二可以通過(guò)變形，換元u=-2x，把原不定積分轉(zhuǎn)化成a=b=1的特殊形式來(lái)解。兩種解法得到的結(jié)果是完全相同的。你可以對(duì)比一下，哪種方法更簡(jiǎn)便。

最后總結(jié)一下“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘正弦冪的不定積分公式”：

能夠進(jìn)來(lái)看老黃文章的小伙伴，都是棒棒的，高智商令老黃欽佩的?？床幻靼椎囊膊灰m結(jié)于標(biāo)題哦。關(guān)注知識(shí)本身才是最重要的。