按照下圖的算法，似乎可以算出圓周率π等于4：

這個(gè)結(jié)論肯定是錯(cuò)誤的，這篇文章就來(lái)仔細(xì)解釋下。

1 周長(zhǎng)和面積

確實(shí)，隨著不斷彎折，圓外多邊形看上去越來(lái)越接近圓：

那為什么文章開頭的結(jié)論是錯(cuò)誤的呢？我們需要明白，在這個(gè)彎折過(guò)程中，圓外多邊形的周長(zhǎng)和面積發(fā)生了不同的改變：

• 圓外多邊形的周長(zhǎng)始終保持不變，并沒有逼近圓的周長(zhǎng)

• 圓外多邊形的面積不斷逼近圓的面積，所以看上去圓外的多邊形看上去越來(lái)越接近圓

1.1 周長(zhǎng)不變

將圓的右上角放大，可見外接正方形的邊無(wú)論折成多少個(gè)階梯，只要恰當(dāng)?shù)仄揭七@些階梯，就可以還原出之前的正方形

也就是說(shuō)，在彎折過(guò)程中，圓外多邊形的周長(zhǎng)始終為4

更代數(shù)一點(diǎn)，可用數(shù)列來(lái)表示彎折過(guò)程中外面多邊形的周長(zhǎng)，很明顯該數(shù)列的極限為：

這是一個(gè)常數(shù)數(shù)列，該數(shù)列的極限為4，這說(shuō)明彎折過(guò)程中圓外多邊形的周長(zhǎng)是沒有發(fā)生變化的。

1.2 面積逼近

一開始，外接正方形和圓形的面積大概相差4個(gè)直角三角形，也就是下圖中藍(lán)色的四個(gè)直角三角形。因?yàn)閳A的直徑為1，所以容易推出這四個(gè)直角三角形的面積之和為，也就是說(shuō)外接正方形和圓形的面積大概相差：

不斷地彎折圓外多邊形，可以算出這些直角三角形的和是在不斷減小的，也就是圓外多邊形和圓形的面積差在不斷減?。?/p>

這說(shuō)明圓外多邊形的面積在不斷逼近圓形的面積。

1.3 科赫雪花

綜上，之所以得到錯(cuò)誤的結(jié)論，是我們直覺上認(rèn)為面積逼近的同時(shí)周長(zhǎng)也會(huì)逼近。這個(gè)直覺是錯(cuò)誤的，周長(zhǎng)和面積并沒有絕對(duì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。來(lái)看一個(gè)更極端的例子，像下面動(dòng)圖一樣，從邊長(zhǎng)為s的等邊三角形開始，可以生成類似于雪花的圖像，也稱為科赫雪花：

可以證明，科赫雪花的面積的極限為，但周長(zhǎng)的極限為無(wú)窮大。

具體細(xì)節(jié)可以參考: https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

2 另外一個(gè)問(wèn)題

下面來(lái)看一個(gè)類似的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題可以幫助我們思考得更深一些。同樣是直徑為1的圓，在它的圓周上畫滿相切的圓：

如果交替地取這些圓在圓周內(nèi)的部分和圓周外的部分，就構(gòu)成了一條纏繞著圓周的連續(xù)曲線：

上圖中的曲線是由8個(gè)圓組成的，當(dāng)然可以用更多的相切圓來(lái)構(gòu)造該曲線。隨著相切圓的增加，該曲線的周長(zhǎng)會(huì)持續(xù)縮小，但是到一定程度后周長(zhǎng)就不再縮小了：

實(shí)際上，該曲線的周長(zhǎng)會(huì)停留在該數(shù)值附近，并不會(huì)逼近圓的周長(zhǎng)。背后到底是什么原因，使得曲線周長(zhǎng)沒有逼近圓的周長(zhǎng)？

3 切線

在微積分中學(xué)習(xí)過(guò)，在一定的條件下，點(diǎn)附近的曲線可以用切線來(lái)近似

（馬同學(xué)圖解數(shù)學(xué)?《單變量微積分》中的內(nèi)容）：

3.1 曲線的長(zhǎng)度

假如要計(jì)算曲線在之間的長(zhǎng)度，可以將把切成份，對(duì)應(yīng)的曲線也被分成了份：

因?yàn)榍芯€是對(duì)曲線的近似，所以可用每個(gè)部分的切線段長(zhǎng)度來(lái)近似每個(gè)部分的曲線段：

進(jìn)一步細(xì)分，也就是讓變得更大，可以看到近似的效果會(huì)越來(lái)越好：

當(dāng)時(shí)，這些切線段的長(zhǎng)度加起來(lái)就是曲線的長(zhǎng)度。

3.2 錯(cuò)誤的逼近

回頭來(lái)看一下，之前的例子是用折線或者曲線去逼近圓形的周長(zhǎng)：

而不是用圓形的切線去逼近圓形的周長(zhǎng)，這就是得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因。

3.3 為什么是切線

那為什么圓形的切線才能去逼近圓形的周長(zhǎng)呢？這個(gè)問(wèn)題可能需要用整個(gè)馬同學(xué)圖解數(shù)學(xué)《單變量微積分》課程來(lái)回答。這里就簡(jiǎn)單說(shuō)一下重點(diǎn)，可以證明，曲線的切線和曲線之間相差一個(gè)高階無(wú)窮小，也就是下圖標(biāo)注的??：

上述說(shuō)法反過(guò)來(lái)也是成立的：

在計(jì)算圓形周長(zhǎng)的例子中，用來(lái)近似圓形周長(zhǎng)的折線、曲線，它們只和圓形相差了一個(gè)無(wú)窮小。這里不去深究具體的代數(shù)表達(dá)式，只需要知道，高階無(wú)窮小的意思就是比無(wú)窮小還要小。也就是說(shuō)，圓形的切線是最接近圓形的，因?yàn)樗鼈冎g相差最?。ǜ唠A無(wú)窮?。Ｋ?，必須用切線才能成功逼近。

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