【趣味數(shù)學題】婆羅摩笈多-斐波那契恒等式

2021-07-29 09:03 作者:AoiSTZ23 0人讀過 | 我要投稿

鄭濤 (Tao Steven Zheng) 著

【問題】

婆羅摩笈多-斐波那契恒等式（Brahmagupta-Fibonacci identity）指出，如果兩個正整數(shù)各自都是兩個平方數(shù)之和，那么這兩個正整數(shù)的乘積就是兩個平方數(shù)之和：

? $(a%5E2%2Bb%5E2%20)(c%5E2%2Bd%5E2%20)%3D(ac%E2%88%93bd)%5E2%2B(ad%C2%B1bc)%5E2$

其中 $a%E3%80%81%20b%E3%80%81%20c%E3%80%81d$ 是四個正整數(shù)。

這個恒等式最早出現(xiàn)于公元3世紀丟番圖（Diophantus）的《算術》（Arithmetica）中，后來又出現(xiàn)在公元1225年斐波那契（Fibonacci）的《平方數(shù)書》（Liber Quadratorum）中。公元7世紀, 在《婆羅摩修正體系》（Brahma-sphuta-siddhanta）中，婆羅摩笈多（Brahmagupta）把這個恒定式推廣為一般公式：

$(a%5E2%2Bnb%5E2%20)(c%5E2%2Bnd%5E2%20)%3D(ac%E2%88%93nbd)%5E2%2Bn(ad%C2%B1bc)%5E2$

其中 $n$ 也是一個正整數(shù)。證明了婆羅摩笈多的一般公式。

【題解】

$(a%5E2%2Bnb%5E2%20)(c%5E2%2Bnd%5E2%20)%3Da%5E2%20c%5E2%2Bna%5E2%20d%5E2%2Bnb%5E2%20c%5E2%2Bn%5E2%20b%5E2%20d%5E2%20$

$(a%5E2%2Bnb%5E2%20)(c%5E2%2Bnd%5E2%20)%3Da%5E2%20c%5E2%2Bna%5E2%20d%5E2%2Bnb%5E2%20c%5E2%2Bn%5E2%20b%5E2%20d%5E2-2nabcd%2B2nabcd$

$(a%5E2%2Bnb%5E2%20)(c%5E2%2Bnd%5E2%20)%3D(a%5E2%20c%5E2%E2%88%932nabcd%2Bn%5E2%20b%5E2%20d%5E2%20)%2B(na%5E2%20d%5E2%C2%B12abcd%2Bnb%5E2%20c%5E2%20)$