最近有個小朋友跟我說，他在網(wǎng)上看了一個帖子，說有一個人推翻了現(xiàn)有數(shù)學(xué)體系，因為他可以證明3=0。這是怎么回事呢？今天我們來討論一下這個問題。

01? 3=0證明？?

我們首先來說一下這個帖子的證明。帖子的作者構(gòu)造了一個方程：

這是一個一元二次方程。顯而易見，0不是方程的根，于是就可以讓這個方程的等號兩邊同時除以x，得到下面這個新方程：

然后再把式子(1)和(2)作差，左邊減左邊，右邊減右邊，得到如下的方程：

因為x≠0，現(xiàn)在在等號兩邊同時乘以一個x，就變成了：

顯而易見：方程的根是

好，方程解完了，我們再把這個解代回到原方程就會有

現(xiàn)有數(shù)學(xué)體系被推翻了！

02? 一元二次方程?

問題出在哪？

我們首先來討論一下初中數(shù)學(xué)內(nèi)容：一元二次方程。

根據(jù)求根公式，這個方程有兩個根：

根號里邊的部分叫做判別式，

在公式里，判別式要開平方。在上初中的時候我們知道：只有非負(fù)數(shù)才有平方，所以我們有這樣的結(jié)論：判別式大于等于0時，一元二次方程有兩個實數(shù)根，而判別式小于0時，一元二次方程沒有實數(shù)根。

明白了這個道理之后，我們再回過頭來看最開始的方程(1)

這個方程的系數(shù)a、b、c都是1，按照一元二次方程的解法，它的判別式

它是小于零的，說明這個方程沒有實數(shù)根。既然連實數(shù)根都沒有，解出x=1的結(jié)果肯定是不對的。

03? 復(fù)數(shù)根?

1799年，22歲的數(shù)學(xué)王子高斯提交了自己的博士論文《單變量有理整代數(shù)函數(shù)皆可分解為一次或二次式的定理的新證明》，用人話說就是：n次多項式方程就一定有n個根，這個結(jié)論被稱為代數(shù)基本定理。

等會兒，剛才我們還說判別式小于零的時候一元二次方程沒有實數(shù)根，現(xiàn)在又說n次方程一定有n個根，這不矛盾嗎？

我們先回憶這樣一個情景：小學(xué)一年級的時候，如果老師問我們：1減去2等于幾，我們一定會回答算不了，因為我們對數(shù)的認(rèn)識只停留在自然數(shù)上。不過，如果引入了負(fù)數(shù)，就能得

這就是數(shù)域拓展——從自然數(shù)N拓展到了整數(shù)Z。

如果小學(xué)二年級的時候，老師問我們：10除以3等于幾，可能我們又會回答算不了，因為10除以3不是整數(shù)。不過，如果引入了分?jǐn)?shù)，10除以3就能算了。

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，從整數(shù)Z到有理數(shù)Q，又是一次數(shù)域拓展。

我們繼續(xù)想：如果小學(xué)三年級的時候，老師問我們3的平方根是多少，我們還是會回答算不了，因為3的平方根不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)。但是，如果引入了無理數(shù)，3的平方根就又有了。

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，從有理數(shù)Q到實數(shù)R又是一次數(shù)域拓展。

繼續(xù)，如果上了初中，老師問我們：-1的平方根是多少？我們一樣會回答：不存在。因為任何實數(shù)的平方都不可能是負(fù)的。實際上，如果引入了虛數(shù)，-1的平方根就又存在了。

其中i是虛數(shù)的單位。實數(shù)和虛數(shù)，統(tǒng)稱復(fù)數(shù)。從實數(shù)R到復(fù)數(shù)C，又是一次數(shù)域拓展。

對于方程

由于判別式小于0，它沒有實數(shù)根，但是依然有復(fù)數(shù)域內(nèi)的根。按照求根公式，

在初中的時候我們學(xué)過：任何一個實數(shù)，都表示成實數(shù)軸上的一個點。其實，復(fù)數(shù)也可以對應(yīng)于復(fù)平面上的一個點:過實數(shù)軸上的原點做一個實數(shù)軸的垂線，這叫做虛軸，實軸和虛軸拓展成的二維平面就叫復(fù)平面。

任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成復(fù)平面上的一個點，它的橫坐標(biāo)叫做實部，縱坐標(biāo)叫做虛部。比如剛才方程的兩個根，在復(fù)平面內(nèi)就表示成下圖：

大家看，這個一元二次的兩個根沒有落到實數(shù)軸上，所以它沒有實數(shù)根，只有兩個復(fù)數(shù)根。而且這兩個根都不是1。

04? 方程的增根??

那么，x=1又是怎么出來的呢？

初中二年級，我們學(xué)習(xí)了分式方程，老師會講到增根的概念。比如一個方程

有兩個根

現(xiàn)在，我讓方程兩邊同時乘以x-a，得到

顯然，除了原來方程的兩個根之外，這個方程還多出了一個根

因為方程兩邊同時乘以x-a，就會引入根x=a,它并不是原來方程的根.這樣的根就就稱之為原方程的增根。

現(xiàn)在，我們就可以研究一下前面帖子里的證明方法問題出在哪里了。我們令

第一步兩邊同時除以x，得到

然后把式子(1’)和(2’)作差，變成了

再讓等號兩邊同時乘以x，于是就變成了

大家看，帖子里紛繁復(fù)雜的操作，最終不過是在兩邊同時乘以(x-1)。這樣原來的二次方程就變成了三次方程，它的根從兩個變成了三個——多出了一個增根x=1。

將增根代回原來方程，顯然是不合理的。

如果把這三個根畫在復(fù)平面內(nèi)，它們會落在一個半徑為1的圓上，并且彼此夾角都是120度。

還挺有趣的。

這些知識都是我上初中的時候數(shù)學(xué)老師教給我的，回想起來歷歷在目，仿佛就在昨天。我初中的老師們，你們還好嗎？2021年，祝所有的老師平安健康。

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