簡介

以下是對本維基分層系統(tǒng)上限的解釋，即低1-A及以上的部分，即便這里提出的概念對低層次的功能也有很大作用。

術(shù)語

公理：一個自然的、不言而喻的陳述，在一個給定的理論及其語言的背景下被公設(shè)并自動視為正確的，從中可以推導(dǎo)出更多的普遍陳述和定理。這方面的一個例子是 "無窮性公理"，它本質(zhì)上可以被概括為一個簡單的斷言，即一個無限的集合是存在的，這一點無法通過標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)的工具來證明或構(gòu)建，因此必須完全作為一個單獨的聲明來添加。

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盡管最初有試圖用自然的、非正式的語言來描述，但集合論很快就被證明是在其基礎(chǔ)上出現(xiàn)許多悖論和矛盾的理由，因此需要用成熟的術(shù)語和定理將其置于正式語言的框架之下，可以說是將其 "公理化"。由自然語言描述的集合論被稱為 "樸素集合論"

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冪集：給定集合X的所有子集的集合，通常表示為2x或P(X)。比如{1，3，4}的冪集是{?, {1}, {3}, {4), {1, 3}, {1, 4}, {3, 4}, {1, 3, 4}}。

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κ: 無限基數(shù)的占位符。

基數(shù)

https://vsbattles.fandom.com/wiki/File:Infinity_is_bigger_than_you_think_-_Numberphile

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上面的視頻是對可數(shù)和不可數(shù)無限集概念的簡要解釋，它是集合理論中一個非?；镜脑?，對于理解之后解釋中介紹的大多數(shù)概念都非常重要。因此，如果對這里介紹的概念不熟悉，強烈建議你觀看。

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https://vsbattles.fandom.com/wiki/File:How_To_Count_Past_Infinity

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也強烈推薦這段對基數(shù)的大致意思提供了更詳細(xì)的解釋的視頻。

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首先，為了正確地介紹更大的無窮大，建立一個關(guān)鍵的區(qū)別區(qū)分開基數(shù)和序數(shù)是極其重要的。

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從本質(zhì)上講，基數(shù)是用來表示一個給定的集合中所包含的對象的確切數(shù)量，正式稱為該集合的勢，例如，一個由四個蘋果組成的集合的勢是4。

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另一方面，序數(shù)可以被定義為用來表示良序集的數(shù)字，或者用通俗的話說，擁有一個已定義最小元素的集合。根據(jù)馮-諾伊曼（John Von Neumann）正式提出的序數(shù)標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)建，任何給定的自然數(shù)都是一個序數(shù)，以及所有比它小的序數(shù)的良序集。比如說：

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4 = {0, 1, 2, 3}

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7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

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當(dāng)接近有限的對象集時，這兩個概念是攜手并進(jìn)的，它們之間沒有實際區(qū)別。然而，在處理無限集時，兩者是分開的，結(jié)果證明在表示集合中的順序和表示其中包含的對象數(shù)量之間存在非常明顯的不同。

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在所有有限序數(shù)用盡之后，出現(xiàn)了第一個無限序數(shù)：ω，它可以在數(shù)學(xué)上被定義為等同于所有自然數(shù)的集合，或者更準(zhǔn)確地說：

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ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

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正好在ω之后的，是ω+1，其定義為：

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ω+1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5... ω}

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之后是ω+2：

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ω+2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5... ω, ω+1}

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以此類推，直到在ω上應(yīng)用任何進(jìn)一步的運算。然而，重要的是要知道，雖然所有這些序數(shù)都在ω之后，并且從技術(shù)上講，比它 "大"，但它們所代表的每個集合都擁有相同數(shù)量的對象，因此具有相同的勢。事實上，它們是可數(shù)集合，因此都由同一個基數(shù)表示： 阿列夫零，表示為?0。

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在?0之后，是最小的不可數(shù)基數(shù)：?1，其本身由序數(shù)ω1為引索，即所有可數(shù)序數(shù)的集合為引索。就分層系統(tǒng)而言，它被認(rèn)同為一個公理，即?1是所有實數(shù)的集合的勢，因此等于?0的冪集，同樣的原理也將被推廣到任何更高的基數(shù)。

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這個層次結(jié)構(gòu)被擴展到阿列夫數(shù)，其下標(biāo)可以被定義為對應(yīng)于任何更高的數(shù)字，無論是有限的還是無限的：?2, ?3, ?4... ?ω，?ω+1，?ω+2，以此類推，每一個后繼的基數(shù)都等于前一個的冪集。

不動點

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從數(shù)學(xué)上講，阿列夫?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)的不動點本質(zhì)上是一個給定的基數(shù)κ，使得κ=?κ。通俗地說，這本質(zhì)上意味著一個阿列夫不動點是一個無限基數(shù)，其大小大到無法通過變換而改變，并且等于其下的基數(shù)的數(shù)量。

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為了進(jìn)一步闡述這一點： 通過考慮任何給定的無限數(shù)之前的基數(shù)的確切數(shù)量，并將其與下標(biāo)關(guān)聯(lián)起來，來思考基數(shù)不動點是有效的： 也就是說，在?0下沒有無限基數(shù)，在?1下有一個，在?2下有兩個...。?ω下有?0個無限基數(shù)，等等，等等。

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現(xiàn)在，假設(shè)有一個無限的基數(shù)，其下標(biāo)基本上是一個無限的阿列夫數(shù)級聯(lián)，無休止地向下重復(fù)自己。由于下標(biāo)本身包含了無限多的阿列夫數(shù)，從其中去掉一其中個不會以任何方式改變數(shù)字本身，從而使這個基數(shù)變成一個其大小使得小于它的無限基數(shù)的數(shù)量等于其本身數(shù)字。

大基數(shù)

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非常粗略地講，大基數(shù)是某些具有非常 "大 "的性質(zhì)的基數(shù)。也就是說，它們是不能從大多數(shù)集合論的標(biāo)準(zhǔn)公理中證明其存在的基數(shù)，因此必須通過添加另一個假定它們存在的公理來明確定義它們，就像無限集（ω）不能從算術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)工具和運算中得到，因此需要單獨添加其存在。

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大基數(shù)的層次結(jié)構(gòu)相當(dāng)廣泛，包含了許多有奇特名字的數(shù)字，但最傳統(tǒng)和最容易理解的切入點是不可達(dá)基數(shù)： 不可數(shù)的無限基數(shù)，它是規(guī)則的（不能被定義為小于自身的數(shù)的并集）和強極限的（不能通過重復(fù)的冪集運算達(dá)到），用通俗的話說，這意味著它們不能以任何方式、形態(tài)或形式從比它小基數(shù)達(dá)到，不可達(dá)基數(shù)完全超出它們的領(lǐng)域。以下是不可達(dá)基數(shù)與小于它的數(shù)字的一個很好的圖解：