二項(xiàng)式分布用于模擬多次獨(dú)立試驗(yàn)的情況，每個(gè)試驗(yàn)都有兩種可能性——成功和失敗。在這種情況下，獨(dú)立性意味著試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)任何其他試驗(yàn)都沒有影響。因此，成功和失敗的概率是固定的，不會(huì)隨著試驗(yàn)而改變。這些獨(dú)立的試驗(yàn)被稱為伯努利試驗(yàn)。

伯努利試驗(yàn)一個(gè)例子: 如果你擲一枚硬幣(這個(gè)硬幣沒有被做手腳)，它總是有0.5的概率出現(xiàn)正面。為了給出一個(gè)數(shù)學(xué)的表達(dá)，可以讓X_i，i=1，2, ... , n 表示n次試驗(yàn)的出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果，每個(gè)X_i是離散隨機(jī)變量，我們規(guī)定X_i的取值為{0,1}, 其中X_i = 0 表示失敗，X_i = 1 表示成功。這樣樣本空間為S = ｛0，1｝，分別表示失敗或成功，概率分布函數(shù)為P（X_i=1）= p, ，P(X_i=0）=1?p，其中0≤p≤1 是每次試驗(yàn)成功的概率。我們考慮從隨機(jī)變量X_1,...,X_n 導(dǎo)出的一個(gè)新的隨機(jī)變量
?? X = X_1 + ... + X_n
那么 X 可能的取值有 0, 1, ..., n, 也就是說X的樣本空間S = { 0, 1, ..., n}, 其中 X =k 表示 n 次獨(dú)立試驗(yàn) 恰好有 k 次成功發(fā)生的概率。概率課上老師會(huì)講 X = k 的概率是
P(X = k ) =? C_n^k * p^k * (1-p) ^(n-k),
其中 C_n^k 表示從 n 個(gè)不同的元素中選取k 的組合數(shù)。
我們說 X 服從二項(xiàng)分布(n,k), 記作 X ~ B(n,k).

二項(xiàng)分布有很多應(yīng)用，我們下面講一個(gè)應(yīng)用：保險(xiǎn)公司的保費(fèi)政策制定。

某保險(xiǎn)公司擬推出向某小學(xué)推出小學(xué)生意外傷害險(xiǎn),每位參保人交付保險(xiǎn)費(fèi)，出險(xiǎn)時(shí)可獲得4萬元賠付。已知一年中一個(gè)人的出險(xiǎn)率為0.3%，現(xiàn)有1000名新生參加保險(xiǎn)，要使保險(xiǎn)公司獲利不少于10萬元的概率達(dá)到90%以上，問保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)此業(yè)務(wù)時(shí)每位參保人至少需交付多少元保險(xiǎn)費(fèi)?

每人交款 x 元，假設(shè)一年中有 Y 個(gè)人申請(qǐng)理賠，欲使保險(xiǎn)公司獲利大于10萬元，即

1000*x - 40000*Y >= 100000

也就是說，必須滿足人數(shù) Y <= (1000*x - 100000)/40000? 才能滿足獲利 10萬 以上。

一年中出險(xiǎn)的人數(shù) Y 是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從二項(xiàng)分布， 一個(gè)人出險(xiǎn)的概率是 0.3%, 也就是我們說的做一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的概率 p = 0.003,
那么1000個(gè)人的總出險(xiǎn)人數(shù)和相當(dāng)于做了1000次獨(dú)立試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)。
那么 Y = k 的概率是
????????? P(Y = k ) = C_n^k *? p^k * (1-p)^k
其中 n = 1000,? C_n^k? = n!/( k! * (n-k)! 是從n個(gè)不同的元素中選取k的組合數(shù)。

保險(xiǎn)公司期待能以90%的概率賺到10萬元，那么只要使得
P(Y <=? (1000*x - 100000)/40000? ) > 90% 即可。

我們知道 Y 的取值是 0,..., 1000,
如果 ( 1000*x-100000) /40000 = 1000
那么我們肯定 100% 的概率賺錢，此時(shí)需要收取的錢數(shù)是
x = 400100 元，
收的錢比賠付的還多，參保人肯定不愿意。

我們不妨暴力的來計(jì)算 某個(gè)比1000小的最小的正整數(shù) k_some
使得 P(Y <= k_some ) > 90%,
然后通過解下面的方程
??? (1000*x-100000)/40000 = k_some
得到 x 即是所求 (可以適當(dāng)?shù)纳先≌?，這樣也能多賺一丟丟)。

close all; clear all; clc
n = 20;? % 試驗(yàn)的次數(shù)
p = 0.003; % 做一次試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的概率

f = binomial_pdf(n,p);

?bar(0:n,f);
xlabel("事件A發(fā)生的次數(shù)X")
ylabel("概率")
hold on
plot(0:n,f,'y-','LineWidth',6);
hold off

%P(X<=k) < 0.9 的k 的最大值
k_some? = max(find(cumsum(f) < 0.9));
% 解(1000*x-100000)/40000 = k_some 得到向每人收取的保費(fèi)
x = ( k_some * 40000 + 100000 )/1000


% 伯努利試驗(yàn)，總試驗(yàn)次數(shù)時(shí)n,? 事件A發(fā)生的總次數(shù)X
% 時(shí)一個(gè)隨機(jī)變量，可能的取值為 0,1,..., n
% X=k 表示 總試驗(yàn)次數(shù)是n時(shí)，事件A總共發(fā)生了k次，
% X=k 發(fā)生的概率是
% p(X=k) = nchoosek(n,k) * p^k * q^(n-1)
%
function f = binomial_pdf(n,p)
??? f = zeros(1,n+1); % 對(duì)二項(xiàng)分布的概率f賦初值
??? for k=0:1:n; % 事件A發(fā)生k次,求二項(xiàng)分布f,即成功k次的概率
??????? f(k+1) = nchoosk(n,k) *p^k * (1-p)^(n-k);
??? end
end

% 從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)
%? cnk =? n!/(k! * (n-k)!)
%? 第二個(gè)算法 cnk =? 1/(n-1)*beta(k+1,n-k) 這里的beta是beta函數(shù)
function? cnk = nchoosk(n,k)
?? ?if(n==k || k==0)
?? ??? ?cnk = 1;
?? ??? ?return;
?? ?end
?? ?%cnk = (factorial(n)/factorial(n-k)/factorial(k))?? ?
?? ?cnk = 1/(n-k)/beta(k+1,n-k)
end