拓?fù)鋵W(xué)是研究空間的性質(zhì)和變形的學(xué)科，而流形是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)概念，是可以局部歐幾里得空間化的一個(gè)拓?fù)淇臻g。123

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，拓?fù)鋵W(xué)研究的是空間的性質(zhì)，而流形則是一種特殊的空間。

【歐幾里得空間】

歐幾里得空間是指一類特殊的向量空間，對(duì)通常3維空間V3中的向量可以討論長(zhǎng)度、夾角等幾何性質(zhì)。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，歐幾里得空間就是中學(xué)平面幾何或者立體幾何所處的空間，其中定義了各種中學(xué)就學(xué)過(guò)的概念，比如距離 d (x,y)=sqrt { (x_1-y_1)^2+ (x_2-y_2)^2+ (x_3-y_3)^2} 就是點(diǎn) x 和點(diǎn) y 在三維空間中的距離，還有內(nèi)積 vec xcdotvec y=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 就是向量 vec x 和向量 vec y 的內(nèi)積。

【數(shù)學(xué)空間】

數(shù)學(xué)中有很多種空間，其中比較常見(jiàn)的有：線性空間、度量空間、拓?fù)淇臻g、希爾伯特空間、巴拿赫空間等。

——線性空間是定義了加法和數(shù)乘的空間，它是線性代數(shù)的基礎(chǔ)。

——向量空間，又稱線性空間，是線性代數(shù)的中心內(nèi)容和基本概念之一。1?向量空間定義為帶有加法和標(biāo)量乘法的集合 V。2?向量空間是一個(gè)滿足八條性質(zhì)的集合，包括加法結(jié)合律、加法交換律、加法單位元、加法逆元、標(biāo)量乘法結(jié)合律、標(biāo)量乘法分配律、標(biāo)量乘法單位元和標(biāo)量乘法分配律。向量空間是一種對(duì)幾何上向量空間的一個(gè)推廣，因此向量空間像幾何空間是有著相同特質(zhì)的量的集合，并且在集合上面定義了一套運(yùn)算規(guī)則。

——度量空間是定義了距離的空間，它是分析學(xué)的基礎(chǔ)。2

——拓?fù)淇臻g是定義了開(kāi)集和閉集的空間，它是拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。2

——希爾伯特空間是定義了內(nèi)積的完備線性賦范空間，它是量子力學(xué)的基礎(chǔ)。4

——巴拿赫空間是完備的賦范線性空間，它是泛函分析的基礎(chǔ)。3

類似于瑞士卷的展開(kāi)，高維降維

等距映射（Isomap）是一種非線性降維算法，它可以將高維數(shù)據(jù)映射到低維空間中，同時(shí)保留數(shù)據(jù)的局部幾何結(jié)構(gòu)。等距映射算法通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的最短路徑距離來(lái)估計(jì)流形的測(cè)地距離，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)高維數(shù)據(jù)的降維。等距映射算法是一種高效的降維方法，可以廣泛應(yīng)用于各種來(lái)源和不同維度的數(shù)據(jù)。

近似擬合

LLE算法的主要思想是在低維空間保持了原始高維空間樣本鄰域內(nèi)的線性關(guān)系，這也是局部線性嵌入算法的名稱來(lái)源。

瑞士卷的展開(kāi)

拉普拉斯特征映射算法（Laplacian Eigenmaps）是一種基于圖的降維算法，它希望相互間有關(guān)系的點(diǎn)（在圖中相連的點(diǎn)）在降維后的空間中盡可能的靠近，從而在降維后仍能保持原有的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

拉普拉斯特征映射算法所產(chǎn)生的映射可以看作是對(duì)幾何流形的一種連續(xù)離散逼近的映射，用數(shù)據(jù)點(diǎn)的鄰域圖來(lái)近似表示流形，并用Laplace-Beltrami 算子近似表示鄰域圖的權(quán)值矩陣，實(shí)現(xiàn)高維流形的最優(yōu)嵌入。