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Hartshorne's Algebraic Geometry 哈茨霍恩代數(shù)幾何補(bǔ)充細(xì)節(jié)（一）

2023-08-13 13:30 作者:Micromaster 0人讀過(guò) | 我要投稿

以下證明來(lái)源于：affine varieties - Theorem 3.2, Chapter 1, of Hartshorne's Algebraic Geometry - Mathematics Stack Exchange

定理3.2的(d)部分論述容易引起困惑：

A(Y)的商域同構(gòu)于 $%5Cmathcal%20%7BO%7D_%7Bp%7D$ 的商域，并且它等于K(Y)

由于在定理3.2(c)中，我們已經(jīng)證明 $%5Cmathcal%7BO%7D_p%20%5Ccong%20A_%7Bm_p%7D$ ,那么 $Frac(A(Y))%5Ccong%20Frac(A(Y)_%7Bm_%7Bp%7D%7D)%5Ccong%20Frac(%5Cmathcal%7BO%7D_p)$ ,另一方面，由于 $%5Cmathcal%7BO%7D_p%20%5Csubseteq%20K(Y)$ ?可以視為K(Y）的子環(huán)，從而若 $Frac(%5Cmathcal%7BO%7D_p)%5Cneq%20K(Y)$ ,那么必然有K(Y)中的元素不屬于 $%5Cmathcal%20%7BO%7D_p$ ,但這是不可能的，因?yàn)椋我挥欣砗瘮?shù)必然是某點(diǎn)上的正則函數(shù)，即 $K(Y)%3D%5Cbigcup_%7Bp%5Cin%20Y%7D%20%5Cmathcal%7BO%7D_p$

命題4.3，如果對(duì)定理的證明過(guò)程把握不足就容易產(chǎn)生困惑

此外， $Y-Y%5Ccap%20H%20%E5%8F%88%E6%98%AFA%5En-H$ 的閉子集

習(xí)慣性的想法是兩者僅相差一個(gè)交，即：

$Y-Y%5Ccap%20H%3DY%5Ccap(A%5En-H)$

這并沒(méi)有什么錯(cuò)誤，但是在證明中我們假定了Y是擬仿射簇，所以Y并不是一個(gè)開(kāi)集，從而上式并不能說(shuō)明它是一個(gè)閉子集。實(shí)際上，原文的證明已經(jīng)給出了解釋，在說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題之前，Hartshorne給出了 $Z%3D%5Coverline%7BY%7D-Y$ 是 $A%5En$ 中的閉集，且 $Z%5Csubseteq%20H$ ,從而只要對(duì)上面的式子作適當(dāng)?shù)母募纯桑?/p>