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?

自從Sims（1980）發(fā)表開創(chuàng)性的論文以來，向量自回歸模型已經(jīng)成為宏觀經(jīng)濟研究中的關鍵工具。這篇文章介紹了VAR分析的基本概念，并指導了簡單模型的估算過程。?

單變量自回歸

VAR代表向量自回歸。為了理解這意味著什么，讓我們首先來看一個簡單的單變量（即僅一個因變量或內(nèi)生變量）自回歸（AR）模型，其形式為yt=a1yt?1+et。?

平穩(wěn)性

在估算此類模型之前，應始終檢查所分析的時間序列是否穩(wěn)定，即它們的均值和方差隨時間變化是恒定的，并且不顯示任何趨勢行為。?

有一系列統(tǒng)計檢驗，例如Dickey-Fuller，KPSS或Phillips-Perron檢驗，以檢驗序列是否穩(wěn)定。另一種非常常見的做法是繪制序列并檢查其是否圍繞恒定的平均值（即水平線）移動。如果是這種情況，它很可能是穩(wěn)定的。?

自回歸滯后模型

像AR（p）模型一樣，僅憑其自身的滯后對宏觀經(jīng)濟變量進行回歸可能是一種限制性很大的方法。通常，更合適的假設是還有其他因素。通過包含因變量的滯后值以及其他（即，外生）變量的同期和滯后值的模型來實現(xiàn)這種想法。同樣，這些外生變量應該是穩(wěn)定的。對于內(nèi)生變量yt和外生變量xt例如自回歸分布滯后或ADL，模型可以寫成

?

yt=a1yt?1+b0xt+b1xt?1+et.

?

這種ADL模型的預測性能可能會比簡單的AR模型更好。但是，如果外生變量也依賴于內(nèi)生變量的滯后值怎么辦？這意味著xt也是內(nèi)生的，還有進一步的空間可以改善我們的預測。

向量自回歸模型

?因此，如上所述，VAR模型可以重寫為一系列單獨的ADL模型。實際上，可以通過分別估計每個方程來估計VAR模型。

標準VAR模型的協(xié)方差矩陣是對稱的，即，對角線右上角的元素（“上三角”）將對角線左下角的元素（“下三角”）鏡像。這反映了這樣一種想法，即內(nèi)生變量之間的關系僅反映相關性，并且不允許做出因果關系的陳述，因為在每個方向上的影響都是相同的。?

在所謂的結構化?VAR（SVAR）模型的背景下分析了同時因果關系，或更確切地說，是變量之間的結構關系，該模型對協(xié)方差矩陣施加了限制 。?

在本文中，我考慮VAR（2）過程。?

此示例的人工樣本是在R中生成的

1. set.seed(123) # 由于可復制性的考慮，重置隨機數(shù)發(fā)生器

2. 


3. # 生成樣本

4. t <- 200 # 時間序列觀察數(shù)

5. k <- 2 # 內(nèi)生變量數(shù)

6. p <- 2 # 滯后階數(shù)

7. 


8. # 生成系數(shù)矩陣

9. A.1 <- matrix(c(-.3, .6, -.4, .5), k) # 滯后系數(shù)矩陣1

10. A.2 <- matrix(c(-.1, -.2, .1, .05), k) # 滯后系數(shù)2

11. A <- cbind(A.1, A.2) # 系數(shù)矩陣

12. 


13. # 生成序列

14. 


15. series <- matrix(0, k, t + 2*p) # 帶有0的原始序列

16. for (i in (p + 1):(t + 2*p)){ # 生成e ~ N(0,0.5)的序列

17. series[, i] <- A.1%*%series[, i-1] + A.2%*%series[, i-2] + rnorm(k, 0, .5)

18. }

19. 


20. series <- ts(t(series[, -(1:p)])) # 轉(zhuǎn)換為時間序列格式

21. names <- c("V1", "V2") # 重命名變量

22. 


23. plot.ts(series) # 繪制序列

?

估算值

簡單VAR模型的參數(shù)和協(xié)方差矩陣的估計很簡單。

為了估計VAR模型，加載并指定數(shù)據(jù)（y）和 模型。?

?比較

VAR分析中的一個中心問題是找到滯后的階數(shù)，以產(chǎn)生最佳結果。模型比較通?；谛畔藴?，例如AIC，BIC或HQ。通常，由于是小樣本預測，AIC優(yōu)于其他標準。但是，BIC和HQ在大型樣本中效果很好 。

可以計算標準信息標準以找到最佳模型。在此示例中，我們使用AIC：

?通過查看，summary我們可以看到AIC建議使用2的階數(shù)。

summary(var.aic)

1. ##

2. ## VAR Estimation Results:

3. ## =========================

4. ## Endogenous variables: Series.1, Series.2

5. ## Deterministic variables: none

6. ## Sample size: 200

7. ## Log Likelihood: -266.065

8. ## Roots of the characteristic polynomial:

9. ## 0.6611 0.6611 0.4473 0.03778

10. ## Call:

11. ## VAR(y = series, type = "none", lag.max = 5, ic = "AIC")

12. ##

13. ##

14. ## Estimation results for equation Series.1:

15. ## =========================================

16. ## Series.1 = Series.1.l1 + Series.2.l1 + Series.1.l2 + Series.2.l2

17. ##

18. ## ? ? ? ? ? ? Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

19. ## Series.1.l1 -0.19750 ? ?0.06894 ?-2.865 ?0.00463 **

20. ## Series.2.l1 -0.32015 ? ?0.06601 ?-4.850 2.51e-06 ***

21. ## Series.1.l2 -0.23210 ? ?0.07586 ?-3.060 ?0.00252 **

22. ## Series.2.l2 ?0.04687 ? ?0.06478 ? 0.724 ?0.47018

23. ## ---

24. ## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

25. ##

26. ##

27. ## Residual standard error: 0.4638 on 196 degrees of freedom

28. ## Multiple R-Squared: 0.2791, ?Adjusted R-squared: 0.2644

29. ## F-statistic: 18.97 on 4 and 196 DF, ?p-value: 3.351e-13

30. ##

31. ##

32. ## Estimation results for equation Series.2:

33. ## =========================================

34. ## Series.2 = Series.1.l1 + Series.2.l1 + Series.1.l2 + Series.2.l2

35. ##

36. ## ? ? ? ? ? ? Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

37. ## Series.1.l1 ?0.67381 ? ?0.07314 ? 9.213 ?< 2e-16 ***

38. ## Series.2.l1 ?0.34136 ? ?0.07004 ? 4.874 2.25e-06 ***

39. ## Series.1.l2 -0.18430 ? ?0.08048 ?-2.290 ? 0.0231 *

40. ## Series.2.l2 ?0.06903 ? ?0.06873 ? 1.004 ? 0.3164

41. ## ---

42. ## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

43. ##

44. ##

45. ## Residual standard error: 0.4921 on 196 degrees of freedom

46. ## Multiple R-Squared: 0.3574, ?Adjusted R-squared: 0.3443

47. ## F-statistic: 27.26 on 4 and 196 DF, ?p-value: < 2.2e-16

48. ##

49. ##

50. ##

51. ## Covariance matrix of residuals:

52. ## ? ? ? ? ?Series.1 Series.2

53. ## Series.1 ?0.21417 -0.03116

54. ## Series.2 -0.03116 ?0.24154

55. ##

56. ## Correlation matrix of residuals:

57. ## ? ? ? ? ?Series.1 Series.2

58. ## Series.1 ? ?1.000 ? -0.137

59. ## Series.2 ? -0.137 ? ?1.000

仔細觀察結果，我們可以將真實值 與模型的參數(shù)估計值進行比較：

1. # 真實值

2. A

3. ## ? ? ?[,1] [,2] [,3] [,4]

4. ## [1,] -0.3 -0.4 -0.1 0.10

5. ## [2,] ?0.6 ?0.5 -0.2 0.05

6. # Extract coefficients, standard errors etc. from the object

7. # produced by the VAR function

8. est_coefs <- coef(var.aic)

9. 


10. # 僅提取兩個因變量的系數(shù)，并將它們組合為一個矩陣

11. 


12. # 輸出四舍五入的估計值

13. round(est_coefs, 2)

14. ## ? ? ?Series.1.l1 Series.2.l1 Series.1.l2 Series.2.l2

15. ## [1,] ? ? ? -0.20 ? ? ? -0.32 ? ? ? -0.23 ? ? ? ?0.05

16. ## [2,] ? ? ? ?0.67 ? ? ? ?0.34 ? ? ? -0.18 ? ? ? ?0.07

所有估計值都有正確的符號，并且相對接近其真實值。?

脈沖響應

一旦我們確定了最終的VAR模型，就必須解釋其估計的參數(shù)值。由于VAR模型中的所有變量都相互依賴，因此單個參數(shù)值僅提供 有限信息。為了更好地了解模型的動態(tài)行為，使用了脈沖響應（IR）?？梢岳L制響應變量的軌跡，產(chǎn)生在許多宏觀論文中都可以找到的那些波浪曲線。

在下面的示例中，我們想知道受到?jīng)_擊后序列2的行為。指定了我們想要脈沖響應的模型和變量后，我們將時間范圍設置n.ahead為20。該圖給出了序列2的響應。?

1. # 計算脈沖響應

2. 


3. # 繪制脈沖響應

4. plot(ir.1)

?

請注意，正交選項很重要，因為它說明了變量之間的關系。在我們的示例中，我們已經(jīng)知道不存在這樣的關系，因為真正的方差-協(xié)方差矩陣（或簡稱協(xié)方差矩陣）在非對角元素中是對角為零的對角線。但是，由于具有200個觀測值的有限時間序列數(shù)據(jù)限制了參數(shù)估計的精度，因此協(xié)方差矩陣的非對角元素具有正值，這意味著 非零同時效應。為了在IR中排除這種情況，我們設置了ortho = FALSE。結果是，脈沖響應在周期0中從零開始。 也可以嘗試另一種方法并進行設置ortho = TRUE，那么繪圖從零開始。?

?要了解這一點，還可以計算并繪制累積脈沖響應函數(shù)，以了解 總體長期影響：

1. # 計算脈沖響應

2. 


3. # 繪圖

4. plot(ir.2)

?

我們看到，盡管序列2對序列1中的 反應在某些時期是負面的，但總體效果卻是顯著正面。

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