15-2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣

1.?圖的矩陣表示：有向圖的拓補(bǔ)性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣描述。

2.?關(guān)聯(lián)矩陣A

(1)?設(shè)一條支路連接于某兩個結(jié)點(diǎn)，則稱該支路與這兩個結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。支路與結(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用所謂關(guān)聯(lián)矩陣描述。

(2)?一個具有n個結(jié)點(diǎn)、b條支路的有向圖，它的關(guān)聯(lián)矩陣Aa為一個（n*b）的矩陣，它的任一元素ajk定義為：

①　ajk=+1，表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)并且它的方向背離結(jié)點(diǎn)；

②　ajk=-1，表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)并且它的方向指向結(jié)點(diǎn)；

③　ajk=0，表示支路k與結(jié)點(diǎn)j無關(guān)聯(lián)。

(3)?特點(diǎn)

①　Aa的每一列對應(yīng)一條支路。由于一條支路連接于兩個結(jié)點(diǎn)，若離開一個結(jié)點(diǎn)，則必指向另一個結(jié)點(diǎn)，因此每一列只有兩個非零元素，即+1和-1.

②　當(dāng)把所有行的元素按列相加就得到一行全為零的元素，所以Aa的行不是彼此獨(dú)立的，或者說Aa的任意一行必能從其他（n-1）行導(dǎo)出。

(4)?（降階）關(guān)聯(lián)矩陣A

①　如果把Aa的任意一行劃去，剩下的矩陣用A表示，并成為降階關(guān)聯(lián)矩陣A。

②　矩陣A的某些列將只有一個+1或一個-1，每一個這樣的列必對應(yīng)于與劃去結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的一條支路。被劃去的行對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)做參考結(jié)點(diǎn)。

(5)?關(guān)聯(lián)矩陣A的作用

①　用關(guān)聯(lián)矩陣A表示矩陣形式的KCL方程，即Ai=0，其中i為電路中b個支路的電流組成的b階列向量（支路電流的參考方向?yàn)橹贩较颍?/strong>。

②　用矩陣AT表示矩陣形式的KVL方程，即u=AT*un，其中u為電路中b個支路的電壓組成的b階列向量（支路電壓的參考方向?yàn)橹贩较颍?/strong>，un為(n-1)個結(jié)點(diǎn)電壓組成的(n-1)階列向量。

?3.?回路矩陣B

(1)?設(shè)一個回路由某些支路組成，則稱這些支路與該回路關(guān)聯(lián)。支路與回路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用所謂回路矩陣描述。

(2)?一個獨(dú)立回路數(shù)為l，支路數(shù)為b的有向圖，它的回路矩陣B是一個（l*b）的矩陣，矩陣的元素定義為：

①　bij=+1，表示支路j與回路i關(guān)聯(lián)，并且它們的方向一致；

②　bij=-1，表示支路j與回路i關(guān)聯(lián)，并且它們的方向相反；

③　bij=0，表示支路j與回路i無關(guān)聯(lián)。

(3)?基本回路矩陣B

①　如果所選獨(dú)立回路組是對應(yīng)于一個樹的單連支回路組，這種回路矩陣就稱為基本回路矩陣Bf。

②　寫B(tài)f時，注意安排其行、列次序如下：把l條連支一次排列在對應(yīng)于Bf的第1至第l列，然后再排列樹支；取每一單連支回路的序號為對應(yīng)連支所在列的序號，且以該連支的方向?yàn)閷?yīng)回路的繞行方向。此時Bf將出現(xiàn)一個l階的單位子矩陣，即Bf=[1l Bt]（基本回路矩陣形式）.

?(4)?回路矩陣B的作用

①　用回路矩陣B表示矩陣形式的KVL方程，即Bu=0，其中u為對應(yīng)支路電壓的列向量。

②　用回路矩陣BT表示矩陣形式的KCL方程，即i=BT*il（回路電流法），其中il為對應(yīng)獨(dú)立回路電流的列向量。

?4.?基本割集矩陣Qf

(1)?設(shè)一個割集由某些支路組成，則稱這些支路與該割集關(guān)聯(lián)。支路與割集的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用所謂割集矩陣描述。

(2)?割集方向：移去割集的所有支路，G被分離為兩部分后，從其中一部分指向另一部分的方向，即為割集的方向，每一個割集只有兩個可能的方向。

(3)?一個結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，支路數(shù)為b的有向圖，其獨(dú)立割集數(shù)為（n-1），它的割集矩陣Q是一個[（n-1）*b]的矩陣，矩陣的元素定義為：

①　qij=+1，表示支路j與割集i關(guān)聯(lián)，并且它們的方向一致；

②　qij=-1，表示支路j與割集i關(guān)聯(lián)，并且它們的方向相反；

③　qij=0，表示支路j與割集i無關(guān)聯(lián)。

(4)?基本割集矩陣Qf

①　如果選一組單數(shù)支割集為一組獨(dú)立割集，這種割集矩陣稱為基本割集矩陣Qf。

②　在寫Qf時，注意安排其行、列次序如下：把（n-1）條樹支依次排列在對應(yīng)于Qf的第1至第（n-1）列，然后排列連支，再取每一單樹支割集的序號與相應(yīng)樹支所在列的序號相同，且選割集方向與相應(yīng)樹支方向一致，則Qf的形式為Qf=[1t|Ql],式中下標(biāo)t和l分別表示對應(yīng)于樹支和連支部分。

(5)?基本割集矩陣Qf的作用

①　用基本割集矩陣Qf表示矩陣形式的KCL方程，即Qf*i=0.

②　用QfT表示矩陣形式的KVL方程，即u=QfT*ut,其中ut為（n-1）個樹支電壓組成的列向量。

5. 總結(jié)：用關(guān)聯(lián)矩陣A、回路矩陣B和割集矩陣Q表示的KCL和KVL如圖。

標(biāo)簽：筆記矩陣電路學(xué)習(xí)