一、指數(shù)分布模擬

????????指數(shù)分布常用來描述某個事件發(fā)生的等待時間的分布。我們知道在x≥0時,f(x)=λe^(-λx)，所以F(x)=1-e^(-λx)。借助Excel，設(shè)置公式-LN(1-RAND())/λ，便可求出已知λ和隨機概率對應(yīng)的x值，同時還可以借助公式EXPONDIST(x,0.2,1)返回F(x)。生成服從λ為0.2的指數(shù)分布的隨機數(shù)，制圖如圖1。

????????一個非負(fù)隨機變量X是無記憶的，是指

P{X>m+n|X>m}=P{X>n}????m,n≥0

顯然指數(shù)隨機變量是無記憶的。假設(shè)一個梗產(chǎn)生時間間隔（小時計算）服從λ為0.01的指數(shù)分布，那么產(chǎn)生新梗的時間超過2天的概率為1-F(48)=0.619,在第2天到第5天的概率為0.318。

二、二項分布

????????借助BINOM.DIST(i,n,p,1)返回n次實驗中i次試驗成功且每次成功概率為p的概率。

三、泊松分布

????????P{X=k}=e^(-λ)[(λ^k)/k!]，借助POISSON.DIST(k,λ,1)返回參數(shù)為λ發(fā)生次數(shù)為k的概率。我們知道當(dāng)n充分大而p非常小且np保持一定大小，參數(shù)(n,p)的二項分布近似為λ=np的泊松分布

四、綜合模擬

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????????圖2的WS小世界模型有30個節(jié)點、每個節(jié)點有5個鄰居節(jié)點且隨機化重連概率為0.5。

????????一個人單獨完成作業(yè)的時間（小時計算）服從參數(shù)λ=0.02的指數(shù)分布。完成作業(yè)指F(X)大于等于0.995。

（1）假設(shè)一個班有30人，從編號0到編號29，每個人的交際關(guān)系如圖2。

（2）完成作業(yè)時間限定在30天內(nèi)，編號0到編號4一定會選擇從第1天開始完成，編號5到編號24一定會從第10天開始完成，編號25到編號29一定會從第20天開始完成開始完成。

（3）如果一個人獲得了他人已完成的作業(yè)，那么他完成作業(yè)的時間或剩余時間將服從λ=0.03的指數(shù)分布。

（4）只有單獨完成作業(yè)時間早的向晚的發(fā)送作業(yè)；只有完成作業(yè)的人或獲得完成作業(yè)的人發(fā)送作業(yè)，前者在其完成作業(yè)當(dāng)天，后者在獲得完成作業(yè)當(dāng)天。

（5）一個人發(fā)送給他人的概率與可能發(fā)送人數(shù)相關(guān)，若有N人可能被發(fā)送，發(fā)送任意n人的概率為1/(N+1)。

? ? ? ? 問題：編號29最早在哪一天完成作業(yè)且概率為多少？

????????由（1）可知每個人單獨完成作業(yè)的時間約為288小時，即12天，這由于

EXPONDIST(288,0.02,1)=0.997

從而可知：編號0到編號4一定在第12天完成作業(yè)。

????????與編號29直接相聯(lián)系的人有編號5、編號7、編號8、編號25和編號28。從圖2可以看出編號5有0.5的概率發(fā)送作業(yè)給編號29，編號7有0.5的概率發(fā)送給編號29，編號8有0.5的概率發(fā)送給編號29。

????????編號4會在第12天完成作業(yè)，有5人可能被發(fā)送，編號4選擇發(fā)多少人的概率都為1/6。若只發(fā)送1人，編號5有1/5的概率獲得；若發(fā)送2人，編號5有4/10的概率獲得；若發(fā)送三人，編號5有6/10的概率獲得；若發(fā)送4人，編號5有1/5的概率獲得；若發(fā)送5人，編號5一定獲得。編號5獲得作業(yè)的概率為(1+2+3+4+5)/30=1/2。

????????編號5獲得編號4的作業(yè)是在第12天，那么當(dāng)天編號29有0.5的概率獲得作業(yè)并在第20天開始完成，由（5）可知編號29獲得作業(yè)后會在第27天完成作業(yè)，這是因為

EXPONDIST(192,0.03,1)=0.997

其在第27天完成的概率為0.25。當(dāng)然我們也可以知道編號5只需81小時便可完成作業(yè)，換言之上述過程并不是最短的，最短時長為48+17=65小時，即直接借助編號5、編號7或編號8完成的作業(yè)，這主要是由于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)。