八、HEAP-DELETE(A，i)操作能夠?qū)⒔Y(jié)點 i 從堆 A 中刪除。對于一個包含 n個元素的堆，請設計一個能夠在 O(lgn)時間內(nèi)完成的 HEAP-DELETE 操作。

文心一言：

要在 O(log n) 時間內(nèi)完成 HEAP-DELETE 操作，可以使用以下方法：

1.首先找到要刪除的節(jié)點 i 的父節(jié)點。可以從根節(jié)點開始，依次向上遍歷，直到找到節(jié)點 i。

2.比較節(jié)點 i 的值和父節(jié)點的值，如果 i 的值比父節(jié)點的值大，則將父節(jié)點的值與 i 的值交換。

3.然后將 i 的父節(jié)點從堆中刪除，即執(zhí)行 HEAP-DELETE(A,父節(jié)點)。

4.重復步驟 2 和步驟 3，直到節(jié)點 i 的值不再是堆中的最大值。

這個方法的的時間復雜度是 O(log n)，因為每次操作都會將堆的深度減少一半，最多執(zhí)行 log n 次操作。

以下是這個算法的偽代碼：

function?heapDelete(A,?i)??
????while?(i?>?1)??
????????if?(A[i/2]?<?A[i])??
????????????break??
????????swap(A[i/2],?A[i])??
????????i?=?i/2

這里 swap 函數(shù)用于交換兩個元素的值，heapDelete 函數(shù)中用它來交換節(jié)點 i 和其父節(jié)點的值。

訊飛星火：

為了在 O(lgn) 時間內(nèi)完成 HEAP-DELETE 操作，我們可以使用以下策略：

1.從堆的根節(jié)點開始，找到要刪除的結(jié)點 i。

2.如果 i 是根節(jié)點，那么直接將左子樹的最大結(jié)點提升為新的根節(jié)點，并刪除 i。

3.如果 i 不是根節(jié)點，那么比較 i 和其父節(jié)點的值。如果 i 的值小于等于其父節(jié)點的值，那么將 i 從其父節(jié)點的左子樹中刪除；否則，將 i 從其父節(jié)點的右子樹中刪除。重復這個過程，直到找到要刪除的結(jié)點 i。

4.在刪除結(jié)點 i 之后，重新調(diào)整堆的結(jié)構(gòu)以保持堆的性質(zhì)。

以下是一個 Python 實現(xiàn)的示例：

class?Heap:
????def?__init__(self):
????????self.heap?=?[]

????def?parent(self,?i):
????????return?(i?-?1)?//?2

????def?left_child(self,?i):
????????return?2?*?i?+?1

????def?right_child(self,?i):
????????return?2?*?i?+?2

????def?sift_up(self,?i):
????????while?i?>?0?and?self.heap[self.parent(i)]?<?self.heap[i]:
????????????self.heap[self.parent(i)],?self.heap[i]?=?self.heap[i],?self.heap[self.parent(i)]
????????????i?=?self.parent(i)

????def?sift_down(self,?i):
????????max_index?=?i
????????l?=?self.left_child(i)
????????r?=?self.right_child(i)
????????if?l?<?len(self.heap)?and?self.heap[l]?>?self.heap[max_index]:
????????????max_index?=?l
????????if?r?<?len(self.heap)?and?self.heap[r]?>?self.heap[max_index]:
????????????max_index?=?r
????????if?i?!=?max_index:
????????????self.heap[i],?self.heap[max_index]?=?self.heap[max_index],?self.heap[i]
????????????self.sift_down(max_index)

????def?delete(self,?i):
????????if?i?<?len(self.heap):
????????????del?self.heap[i]
????????????self.sift_down(i)
????????????self.sift_up(i)
????????else:
????????????raise?IndexError("Index?out?of?range")

這個實現(xiàn)中，delete?方法就是 HEAP-DELETE(A,i) 操作。它首先檢查要刪除的結(jié)點 i 是否在堆中，然后刪除該結(jié)點并重新調(diào)整堆的結(jié)構(gòu)。

360智腦：

這是一個經(jīng)典的算法問題，可以使用二叉堆的插入和刪除操作的時間復雜度為 O(logn),因此可以在 O(logn) 的時間內(nèi)完成 HEAP-DELETE 操作。具體實現(xiàn)方式可以是在堆頂查找需要刪除的元素，然后將其從堆中移除并重新插入堆中即可。

chatglm：

為了設計一個能夠在 O(lgn) 時間內(nèi)完成的 HEAP-DELETE 操作，我們可以使用二分查找的方法來找到結(jié)點 i 在堆中的位置。具體步驟如下：

1.初始化一個指針 p，指向堆 A 中的第一個元素。

2.使用二分查找的方法，找到結(jié)點 i 在堆中的位置。具體來說，我們可以先將 p 指向堆的中間位置，然后分別比較 p 左邊和右邊的元素與 i 的大小關系。如果 p 左邊的元素比 i 小，則說明 i 在 p 左邊的子樹中；否則，如果 p 左邊的元素比 i 大，則說明 i 在 p 右邊的子樹中。我們可以根據(jù)這個判斷，將 p 指向?qū)淖訕渲校⒅貜蜕鲜霾襟E，直到找到結(jié)點 i。

3.將堆頂元素（即 p 指向的元素）與結(jié)點 i 交換位置。

4.調(diào)整堆，使得交換后的堆仍滿足堆的性質(zhì)。具體來說，我們可以從 p 開始，依次向下調(diào)整堆，直到調(diào)整到葉子節(jié)點為止。

由于使用二分查找的方法，每次查找都可以將查找范圍縮小一半，因此，對于一個包含 n 個元素的堆，最多需要進行 logn 次查找。而且，在調(diào)整堆的過程中，我們只需要對涉及到的元素進行交換和調(diào)整，因此，總的時間復雜度為 O(lgn)。

因此，我們可以設計一個能夠在 O(lgn) 時間內(nèi)完成的 HEAP-DELETE 操作，具體實現(xiàn)如下：

void?heap_delete(int?arr[],?int?n,?int?i)?{??
???int?p?=?1,?left?=?2?*?p,?right?=?2?*?p?+?1;??
???while?(left?<=?right)?{??
???????if?(left?<?right?&&?arr[left]?<?arr[right])?{??
???????????if?(arr[left]?>?i)?{??
???????????????swap(arr[i],?arr[left]);??
???????????????p?=?left;??
???????????}??
???????}?else?{??
???????????if?(arr[right]?<?i)?{??
???????????????swap(arr[i],?arr[right]);??
???????????????p?=?right;??
???????????}??
???????}??
???????adjust_heap(arr,?n,?p);??
???????left?=?2?*?p,?right?=?2?*?p?+?1;??
???}??
}

其中，swap 函數(shù)用于交換兩個元素，adjust_heap 函數(shù)用于調(diào)整堆。在 adjust_heap 函數(shù)中，我們可以使用遞歸的方式，從 p 開始，依次向下調(diào)整堆，直到調(diào)整到葉子節(jié)點為止。具體來說，我們可以依次對左右子樹進行調(diào)整，如果左子樹的深度小于右子樹的深度，則將左子樹作為當前節(jié)點的子樹，否則將右子樹作為當前節(jié)點的子樹。在調(diào)整子樹的過程中，我們只需要對涉及到的元素進行交換和調(diào)整，直到子樹滿足堆的性質(zhì)為止。

通義千問：

可以采用雙向鏈表來維護堆結(jié)構(gòu)，同時利用堆的特性保證刪除操作的時間復雜度為 O(lgn)。

具體實現(xiàn)如下：

1.定義一個結(jié)點類 Node，包含結(jié)點的值和指向左右子結(jié)點的指針。

2.定義一個雙向鏈表 Head，表示堆的根結(jié)點。將 Head 指向的結(jié)點標記為堆頂結(jié)點。

3.在插入結(jié)點時，先將新結(jié)點插入到雙向鏈表的末尾，然后進行向下調(diào)整，使新結(jié)點成為堆頂結(jié)點。

4.在刪除結(jié)點時，先將堆頂結(jié)點指向刪除結(jié)點的右子結(jié)點，然后將刪除結(jié)點的左子結(jié)點指向堆頂結(jié)點，最后進行向下調(diào)整，使堆保持堆的特性。

代碼如下：

class?Node:
????def?__init__(self,?val):
????????self.val?=?val
????????self.left?=?None
????????self.right?=?None

class?Heap:
????def?__init__(self):
????????self.head?=?None

????def?heapify(self,?node,?i):
????????largest?=?node
????????l?=?2?*?i?+?1
????????r?=?2?*?i?+?2

????????#?找到左右子結(jié)點，并比較大小
????????if?l?<?len(self)?and?self[l].val?>?largest.val:
????????????largest?=?self[l]
????????if?r?<?len(self)?and?self[r].val?>?largest.val:
????????????largest?=?self[r]

????????#?如果當前結(jié)點大于最大結(jié)點，則交換位置，并進行向下調(diào)整
????????if?largest?!=?node:
????????????self[largest.val,?:].left?=?node
????????????node.left?=?self[largest,?:]
????????????self[largest,?:].right?=?node
????????????node.right?=?self[largest,?:]

????????????#?如果左子結(jié)點存在，則進行向下調(diào)整
????????????if?l?<?len(self)?and?self[l].val?>?node.val:
????????????????self.heapify(self[l],?l)

????????????#?如果右子結(jié)點存在，則進行向下調(diào)整
????????????if?r?<?len(self)?and?self[r].val?>?node.val:
????????????????self.heapify(self[r],?r)

????def?insert(self,?val):
????????new_node?=?Node(val)

????????#?如果堆為空，則創(chuàng)建一個新的堆
????????if?not?self.head:
????????????self.head?=?new_node
????????????new_node.left?=?new_node.right?=?None
????????????return

????????#?將新結(jié)點插入到雙向鏈表的末尾
????????new_node.left?=?self.head
????????self.head.right?=?new_node

????????#?進行向下調(diào)整，使新結(jié)點成為堆頂結(jié)點
????????self.heapify(new_node,?0)

????def?delete(self,?val):
????????#?定位刪除結(jié)點的位置
????????i?=?self.search(val)

????????#?如果刪除結(jié)點不存在，則返回空
????????if?i?==?-1:
????????????return

????????#?將堆頂結(jié)點指向刪除結(jié)點的右子結(jié)點
????????self.head.left?=?self[i].right

????????#?將刪除結(jié)點的左子結(jié)點指向堆頂結(jié)點
????????self[i].left?=?self.head

????????#?進行向下調(diào)整，使堆保持堆的特性
????????self.heapify(self.head,?0)

????def?search(self,?val):
????????#?遍歷整個堆，查找是否存在該結(jié)點
????????for?i?in?range(len(self)?-?1,?-1,?-1):
????????????if?self[i].val?==?val:
????????????????return?i
????????return?-1

天工：

要在O(lgn)時間內(nèi)完成堆刪除操作，可以使用以下方法：

1.將堆的根節(jié)點移到堆的最后一個位置。

2.將堆的最后一個元素刪除。

3.如果堆的最后一個元素是根節(jié)點，那么將根節(jié)點移到堆的倒數(shù)第二個位置。

4.如果堆的最后一個元素不是根節(jié)點，那么將根節(jié)點移到堆的倒數(shù)第二個位置。

這個方法的時間復雜度為O(lgn)，因為每次刪除一個元素后，堆的大小減少了1，所以刪除n個元素需要執(zhí)行n次操作，每次操作需要O(lgn)的時間，因此總時間復雜度為O(nlgn)。

chatgpt：

要設計一個能夠在 O(lgn) 時間內(nèi)完成 HEAP-DELETE 操作，可以按照以下步驟進行：

1.首先，將要刪除的節(jié)點與堆的最后一個節(jié)點進行交換。這樣做可以保持堆的完全性質(zhì)。

• ??將堆中第 i 個節(jié)點與最后一個節(jié)點進行交換。

2.接下來，調(diào)整交換后的堆，使其仍然滿足堆的性質(zhì)。

• ??如果交換后的節(jié)點比其父節(jié)點更?。▽τ谧钚《眩┗蛘吒螅▽τ谧畲蠖眩?，則需要將該節(jié)點向上移動。

• ??如果交換后的節(jié)點比其子節(jié)點更大（對于最大堆）或者更?。▽τ谧钚《眩?，則需要將該節(jié)點向下移動。

3.重復步驟 2，直到堆的性質(zhì)被恢復。

下面是一個示例的實現(xiàn)（使用 Python）：

def?heap_delete(A,?i):
????n?=?len(A)
????if?i?<?0?or?i?>=?n:
????????return?A??#?如果?i?不在有效范圍內(nèi)，直接返回原堆

????A[i],?A[n-1]?=?A[n-1],?A[i]??#?交換要刪除的節(jié)點與最后一個節(jié)點

????#?向上調(diào)整
????while?i?>?0?and?A[i]?<?A[(i-1)//2]:
????????A[i],?A[(i-1)//2]?=?A[(i-1)//2],?A[i]
????????i?=?(i-1)//2

????#?向下調(diào)整
????while?True:
????????left?=?2*i?+?1
????????right?=?2*i?+?2
????????smallest?=?i

????????if?left?<?n?and?A[left]?<?A[smallest]:
????????????smallest?=?left
????????if?right?<?n?and?A[right]?<?A[smallest]:
????????????smallest?=?right

????????if?smallest?!=?i:
????????????A[i],?A[smallest]?=?A[smallest],?A[i]
????????????i?=?smallest
????????else:
????????????break

????return?A[:-1]??#?返回刪除節(jié)點后的堆（去掉最后一個節(jié)點）

該實現(xiàn)通過不斷地向上調(diào)整和向下調(diào)整的過程，保持了堆的性質(zhì)，并且在最壞情況下的時間復雜度為 O(lgn)。

總結(jié)