Unit8（8.4-8.9）

【導言】

下面六章主要講述了多元函數(shù)的求導法則，方向導數(shù)與梯度，極值最值以及幾何運用的相關知識。補充內容比如多元函數(shù)的泰勒公式，因為在考綱外以及其理解難度的原因，涉及泰勒公式與基于泰勒公式的證明推導內容將不被包含。

求導包含了顯函數(shù)以及隱函數(shù)的求導。顯性函數(shù)的求導包含了三個知識點，多元函數(shù)轉一元函數(shù)的求導辦法，中間變量求導辦法以及全微分的不變性。隱函數(shù)的求導則分為二元函數(shù)，三元函數(shù)以及方程組形式（三元-四元方程組）。

在掌握求導技巧以后，可以選擇求一個多元函數(shù)的極值與最值。求多元函數(shù)的極值涉及了新定義的“拉格朗日乘數(shù)”，這將導致求解過程極其困難。

方向導數(shù)以及梯度則是偏向于幾何方面的運用，了解它們的定義以及幾何意義即可。還有一個曲面的切線，法線，法平面，切平面，都是幾何方面的相關運用。

最后則講解一道有趣的多元函數(shù)最值題，包含了“等價思想”。

【正文】

一、求導法則

Ⅰ顯性函數(shù)的求導

1多轉一:這里本質在于z對t（通過中間變量u，v）直接求導。因為不方便直接用t表示z，那么利用u，v做媒介的公式是很適合求解的。

(1)z=f(u,v),u=u(t),v=v(t), 那么dz/dt=(?z/?u) (du/dt)+ (?z/?v)(dv/dt)

(2)證明：①Δz=?z/?u Δu+?z/?v Δv +o（ρ）

?????? ②整體同除以Δt，在limΔt→0時，dz/dt=(?z/?u) (du/dt)+ (?z/?v)(dv/dt)，o（ρ）在此時等于0

2中間變量:這里是多元函數(shù)套著多元函數(shù)，也只能對底層兩個變量中的一個求偏導

z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)

?z/?x=?z/?u ?u/?x+ ?z/?v ?v/?x

對于y則同理

3全微分不變性：利用全微分不變性可以巧解問題，省去麻煩。

z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)

dz=?z/?x dx +?z/?y dy

=(?z/?u ?u/?x+?z/?v ?v/?x)dx+(?z/?u ?u/?y+?z/?v ?v/?y)dy

Ⅱ隱函數(shù)求導

1二元情況

（1）定理

①基礎條件：F(x,y)在U（P0，δ）領域內，偏導數(shù)連續(xù)；F(x0,y0)=0,

F’y(x0,y0)≠0

②結論：dy/dx=-Fx/Fy

（2）證明：

①令y=f（x）（在滿足上述條件下，存在關系式y(tǒng)=f（x））

②F(x,f(x))=0，兩邊同時對x求偏導，根據(jù)多元函數(shù)求導法則，得出?F/?x+?F/?y dy/dx=0，從而得出結論

2三元情況

?

（1）條件：F(x,y,z)在U（P0，δ）領域內，偏導數(shù)連續(xù)；F(x0,y0)=0,

F’z(x0,y0)≠0

(2)結論：①存在關系：z=f（x，y）（隱函數(shù)存在定理）②?z/?x=-Fx/Fz，y也同理

3方程組

（1）三元F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0----x=x，y=y（x），z=z（x）

①條件：F,G在U(P0,δ)內各偏導連續(xù)，F(xiàn)0=G0=0；

定義J=?（F,G）/?(x,y)=FyGz-FzGy≠0

②結論：存在唯一的y=y（x）與z=z（x），使得y0=y（x0），z0=z（x0）

且dy/dx=（-1/J） （?（F,G）/?(x,z)） dz/dx=（-1/J） （?（F,G）/?(x,y)）

③證明：左右同導

(2)四元情形：F（x，y，z，u）=0，G（x，y，z,u）=0---u=u(x,y), v=v(x,y)

①條件：F,G在U（P0，δ）內各偏導連續(xù)，F(xiàn)0=G0=0,

定義J=FuGv-FvGu

②結論：?u/?x=-1/J [?(F,G)/ ?(x,v)]. 這里記住一個方法，1/J，?（F,G）是不變的，變的是?（x，v）。對x求偏導那么左邊就是x，而是u對x求偏導，那么右邊就不是u，而是v

（3）反函數(shù)

①條件：u=u(x,y), v=v(x,y); (x0,y0)領域內偏導連續(xù)，

?U0=(x0,y0), v0=(x0,y0),UxVy-UyVx≠0

②結論：存在反函數(shù)x=x（u，v），y=y（u，v） 且x0=x(u0,v0),y=y(u0,v0)

且：（?v/?y）/（?x/?u）=?（u，v）/?（x，y）

二、極值與最值

Ⅰ極值

1定義：若z=f（x，y）在U（P0,δ）內有定義，那么對任意P屬于Uo（P0）（空心領域），f(P)＜f(P0)，則P0處取得極大值（如果是大于就是極小值）

2駐點與極值存在

（1）駐點：

①若z=f（x，y）在P0有偏導，有極值，則fx=fy=0（多元的話就是在P0處對所有變量的偏導都為0）。固定y=y0，f（x，y0）在x=x0處取得的極值是相同的

②在極值點處構造切平面：z-z0=fx（x-x0）+fy（y-y0）

（2）極值存在定理： 設fxx=A，fxy=B，fyy=C

①AC-B*2>0，是極值點

②AC-B*2＜0，不是極值點

③若AC-B*2=0，則定理失效，繼續(xù)討論。證實的思路是用定義去證明這個點是極值點，證偽的思路是取兩個不同情況互相矛盾，則不是極值點（一個全小，一個全大）

3條件極值

（1）基礎：z=f（x，y），約束以條件Φ（x，y）=0.此時要注意，x與y在之前的二元函數(shù)是沒有聯(lián)系的，不聯(lián)動的，就是說不管你x怎么取，y不會被影響。但是加了約束條件以后，x取值會影響y取值，y和x是聯(lián)動的。

（2）設y=φ（x），那么z=f（x，φ（x））（在x=x0處）

?

（3）①z對x求導：dz/dx|x=x0=fx+fy dy/dx=0

②隱函數(shù)求導法則：dy/dx=-Φx（x0，y0）/Φy（x0，y0）。利用約束條件來求dy/dx

③將②式代入①式子，整理可得，fx/Φx=fy/Φy

設這個比值為-λ0. λ的學名是拉格朗日乘數(shù)。引入λ將對極值的求解大有裨益

④構造拉格朗日輔助函數(shù)：

F（x，y，λ）=f（x，y）+λΦ（x，y）

⑤條件駐點滿足方程組：Fx=Fy=Fλ=0.

本質：F（x，y）=f（x，y）+λΦ（x，y）。若F在P0處取得極值，則z=f（x，y）在Φ=0的情況下，P0處也能取得極值。

Ⅱ最值求解思路

1.求z=f（x，y）在D內部的所有駐點與不可導點對應的函數(shù)值

2.求z=f（x，y）在約束條件Φ（x，y）=0邊界下可能極值點對應函數(shù)值

3.比大小

三、應用：方向導數(shù)，梯度

Ⅰ方向導數(shù)

1定義

ΔZl=f（x0+ Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）為l方向上的增量

（2）①Lo（向量）（l方向的單位向量）=（cosα，sinα）。

②定義ρ=【（Δx）*2+（Δy）*2】*0.5。那么x=x0+ρcosα，y=y0+ρsinα

（3）lim（P→P0）（或者寫ρ→0）ΔΔz/ρ

=lim（P→P0）? f（z）/?l |P0

= ?f/?x|P0 cosα+?f/?y|P0 sinα

= ?f/?x|P0 cosα+?f/?y|P0cosβ

2意義：方向導數(shù)的幾何含義即此點沿l方向半切線與l的斜率

1定義

（1）?f/?l|P0=fx cosα+fy cosβ

①設g=（fx，fy），el=（cosα，cosβ）

②?f/?l|P0 =|g| cosγ（γ為g與方向向量el的夾角）

③記g=gradf（x0，y0）。每個點的g方向是固定的，此點沿著這個方向的增速最快，即方向線服從g方向。

?

2實際運用：等值線

（1）f（x，y）=C----x=x, y=y(x)

(2)s=（1，y‘），為方便起見，設s=（dx，dy），即切向方向向量

（3）對f（x，y）=C兩邊同求微分，則df=?f/?x dx+ ?f/?y dy=0

①提取向量：前面涉及的s，以及（?f/?x，?f/?y），這個的本質是grad f

②gradf（梯度） s（切向方向向量）=0

?

?

四。幾何運用

Ⅰ對于空間曲線的：切線與法平面的參數(shù)式與一般式

參數(shù)式情況

（1）構建參數(shù)式并取點：

①x=x（t），y=y（t），z=z（t），t∈【α，β】，

②P0（x0，y0，z0），對應同一個t0

（2）若x‘（t0），y‘（t0），z’（t0）存在且不全為0

①T切（斜率）=（x‘（t0），y‘（t0），z’（t0））

②對稱式以求得切線，點法式以求得法平面

2一般式情況

（1）可以考慮轉為參數(shù)式

（2）定理：F（x，y，z）=G（x，y，z）=0

則T切

={?（F,G）/?（y，z），?（F,G）/?（z，x），?（F,G）/?（x，y）}|P0

Ⅱ對于曲面的切平面與法線：

定義：過點M0處所有切線匯聚成為切平面，過M0且垂直于切平面為法線

2情形

（1）F（x，y，z）=0，那么n=（Fx,Fy,Fz）

(2)z=f(x,y),那么相當于F(x,y,z)=z-f（x，y）=0，n=（fx，fy，-1）

?

四、技巧

Ⅰ比如T=xyz,約束條件x*2+y*2+z*2=1，求Tmax

那么不如設T1=ln|xyz|，求得T1的最大值從而求得T的最大值，更為簡便。