（本文主要適用于中學(xué)生）

《晏子春秋》有云：“橘生淮南則為橘，生于淮北則為枳。”這一諺語(yǔ)膾炙人口，揭示了事物因外部條件的差異，結(jié)果也產(chǎn)生了差異。

王老板是林果承包商，一日他聽(tīng)聞?dòng)心撤N新型品種的水果很受歡迎。在經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研后，他發(fā)現(xiàn)主要消費(fèi)人群主要分布在東北與華南。為了縮減水果的供應(yīng)鏈，他決定在南方和北方分別試種植兩種水果。正如“橘生淮南則為橘，生于淮北則為枳?！彼疲蚕雽?duì)生長(zhǎng)在不同地理環(huán)境下水果的差異進(jìn)行研究。他選擇控制

到了秋收，他在他的兩個(gè)果園各取20個(gè)樣本，統(tǒng)計(jì)水果的質(zhì)量（單位：千克），列表如下：

通過(guò)小學(xué)老師教過(guò)的計(jì)算方法，可以計(jì)算出兩個(gè)果園的平均水果質(zhì)量，南果園2.01 kg，北果園2.10 kg，二者相差0.09 kg。直觀地看，王老板覺(jué)得北果園更適合這種水果的生長(zhǎng)。他的判斷妥當(dāng)嗎？

現(xiàn)在，我們對(duì)南、北果園的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算。南果園0.183 kg，北果園0.199?kg，兩者“比較接近”?？傮w的標(biāo)準(zhǔn)差0.197 kg。無(wú)論是分別的標(biāo)準(zhǔn)差，還是總體的標(biāo)準(zhǔn)差，都比剛剛計(jì)算出的北果園比南果園平均質(zhì)量多0.09 kg大。

不進(jìn)行規(guī)范地?cái)?shù)學(xué)推導(dǎo)，僅直觀地感受，標(biāo)準(zhǔn)差大致在0.18~0.20 kg的范圍，而兩者平均質(zhì)量的差異只有0.09 kg，這么說(shuō)來(lái)，似乎王老板的判斷有些欠妥。

我們現(xiàn)在對(duì)幾組數(shù)據(jù)的“離差平方和”進(jìn)行計(jì)算和分析。

所謂離差平方和，指的是對(duì)數(shù)據(jù)組中每一個(gè)數(shù)據(jù)，和它們的平均值作差，然后將差取平方，再加起來(lái)。例如數(shù)據(jù)1、2、3，它們的平均值是2，離差分別是-1、0、1，再取平方則是1、0 、1，那么離差平方和是1+0+1=2 。

計(jì)算得南果園二十個(gè)樣本的離差平方和為0.67 kg2，北果園二十個(gè)樣本的離差平方和為0.79 kg2，而把四十個(gè)樣本一起考慮，得到的離差平方和為1.55 kg2 。

有人會(huì)問(wèn)，0.67 + 0.79 = 1.46 ≠ 1.55，那么，多出來(lái)的0.09 kg2到哪里去了呢？

這0.09 kg2則是兩組之間的離差平方和。上文我們計(jì)算得出了“南果園平均0.183 kg，北果園平均0.199?kg”，而0.183?kg和0.199?kg的離差平方和是0.0046?kg2，考慮到兩個(gè)果園各有20個(gè)樣本，將0.0046?kg2乘以20，得到約0.09?kg2，恰好是“少掉的”那些離差平方和。

就這樣，我們可以列出下表：

南果園 —— 0.67 kg2

北果園 ——?0.79 kg2

兩者之間 ——?0.09?kg2

總體上 ——?1.55 kg2?

由此可見(jiàn)，兩者之間的差異比較小，兩組各自?xún)?nèi)部的差異比較大。總體上的差異，主要來(lái)自于兩者內(nèi)部，而不是兩者之間。

在本文的第一部分，我們介紹了王老板的猜想。在本文的第二部分，我們通過(guò)比較標(biāo)準(zhǔn)差，發(fā)覺(jué)組內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)差大于組間的差值，從而認(rèn)為王老板的猜想不妥。在本文的第三部分，我們又通過(guò)比較組內(nèi)離差平方和與組間離差平方和的方法，認(rèn)為總體上的差異主要來(lái)自?xún)烧邇?nèi)部，而不是兩者之間。

但是，上面的方法主要是定性的判斷，有沒(méi)有一種更準(zhǔn)確、更合理的判斷方法呢？

這里需要用到的方法稱(chēng)為“T檢驗(yàn)”，T檢驗(yàn)的步驟是根據(jù)已有的數(shù)據(jù)，計(jì)算得出一個(gè)t值，用t值與查表得到的t臨界值進(jìn)行比較，則可以判斷“兩者的組間差異顯著不顯著”這個(gè)問(wèn)題。

t值的計(jì)算公式這里不列，具體的推導(dǎo)過(guò)程也略去不寫(xiě)，有興趣的朋友可以在參考資料中找到推導(dǎo)、證明與計(jì)算過(guò)程。

本文以Excel為例，使用Excel的功能自動(dòng)計(jì)算t值與t的臨界值。免去了手工計(jì)算的麻煩。

首先，需要確保Excel啟動(dòng)了“分析工具庫(kù)”，可以單擊左上角“文件”按鈕，再單擊“選項(xiàng)”，在“Excel 選項(xiàng)”窗口中，選擇“加載項(xiàng)”頁(yè)面，然后找到“分析工具庫(kù)”，啟動(dòng)它。

然后，在“數(shù)據(jù)”選項(xiàng)卡，使用“數(shù)據(jù)分析”。

在分析工具中選擇“t-檢驗(yàn)：雙樣本異方差假設(shè)”

在彈出的窗口中，將變量1、變量2的區(qū)域分別選擇南、北果園，并且選擇“標(biāo)志”，顯著性水平α可以是默認(rèn)的0.05

這樣，能夠得到一張計(jì)算得到的結(jié)果表格。

從表格的t Stat一欄我們可以看出，計(jì)算得到的t值為-1.55，取絕對(duì)值之后便是1.55，而t的雙尾臨界為2.02，將t值與t的臨界值進(jìn)行比較：

1.55<2.02

便得出結(jié)論：兩組之間平均值的差異不顯著。

本文第四段的方法，是“假設(shè)-檢驗(yàn)”法的一種。第四段用了相對(duì)平易的語(yǔ)言來(lái)描述，如果規(guī)范一點(diǎn)，則是：

小結(jié)：本文的標(biāo)題為“數(shù)字會(huì)騙人嗎？”，如果閱讀完了全文，應(yīng)該可以體會(huì)到：簡(jiǎn)單地根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、直觀地判斷有時(shí)候會(huì)得到欠妥的結(jié)論。本文的例子中說(shuō)明，雖然北果園的平均質(zhì)量比南果園大，但是這一差異主要來(lái)自于果園內(nèi)部，而非果園之間。

習(xí)題1：歌姬甲和歌姬乙最近三個(gè)月的投稿數(shù)統(tǒng)計(jì)如下（數(shù)據(jù)為虛構(gòu)）：

歌姬甲每個(gè)月的投稿數(shù)都比歌姬乙多，平均每月的投稿數(shù)也比乙多，請(qǐng)問(wèn)能說(shuō)明“甲的投稿數(shù)顯著多于乙”嗎？（α取0.05）

習(xí)題2：某人對(duì)30位UP主進(jìn)行調(diào)查，播放量取投稿后120小時(shí)時(shí)的播放量，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖所示。（數(shù)據(jù)為虛構(gòu)）

直觀地看，從12月開(kāi)始，連續(xù)三個(gè)月都“同比增長(zhǎng)”，因而得出判斷“這30位UP主的播放量在顯著增長(zhǎng)”，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)判斷妥當(dāng)嗎？（α取0.05）

參考文獻(xiàn)：

① 機(jī)械工業(yè)出版社，宗序平《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第八章“假設(shè)檢驗(yàn)”

② 化學(xué)工業(yè)出版社，李云雁等《試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理》第三章“試驗(yàn)的方差分析”