小波變換

2022-01-27 15:45 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

well,? 其實(shí)之前一直討論的是離散小波變換(DWT),? 這里是稍微討論一下連續(xù)小波變換(CWT).

小波變換與加窗傅里葉變換類似,? 有兩個(gè)參數(shù) a 與 b 去衡量信號(hào)函數(shù)在位置 x=a 處頻率為 b 的大小.? 傅里葉變換? $%5Cmathcal%20F%5Bf%5D(%5Cnu)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(x)%5Coverline%7Be%5E%7Bi%5Cnu%20x%7D%7Ddx$ ?中的想法就是計(jì)算信號(hào)函數(shù) f(x) 與頻率函數(shù)?e??? 的相關(guān)性,? 那么小波變換也有類似的概念:? 給出小波函數(shù) $%5Cphi(x)$ ,? 那么 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%7D%5Cphi%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%5Cright)$ ?表示小波函數(shù)偏移長度 b 并且縮放 a 后的新函數(shù),? 利用與傅里葉變換相似的想法,? 小波變換定義為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(x)%5Coverline%7B%5Cphi%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%5Cright)%7Ddx$ ,? 但是這樣定義時(shí) a=0 無意義,? 于是使用 ax+b 替換 x 得到? $%5Cmathcal%20W_%5Cphi%5Bf%5D(a%2Cb)%3D%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(ax%2Bb)%5Coverline%7B%5Cphi(x)%7Ddx$ ,? 可以看到 a=0 時(shí)?W[f](a,b)=0.? 為了方便,? 下面記小波變換為 W(a,b).

與 DWT 類似,??選取 CWT 的小波函數(shù)也是有要求,? 但不同的是,? CWT的小波函數(shù)是連續(xù)平移的,? 所以不需要滿足標(biāo)準(zhǔn)歸一性,? 甚至不需要滿足尺度對(duì)稱性,? 于是對(duì)于 CWT 來說,? 小波函數(shù)僅需滿足:? 1) 呈指數(shù)衰減,? 2) 積分為 0.

對(duì)于上述形式的小波變換,? 其逆變換為 $f(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%5Cphi%7D%5Cint_%7B%5Cmathbb%20R%5E2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E2%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%7DW(a%2Cb)%5Cphi%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%5Cright)dadb$ ,? 其中 $C_%5Cphi%3D2%5Cpi%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%20%5Cphi%7C(%5Cnu)%7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu$ .? 下面部分將證明這個(gè)逆變換.

首先需要證明? $C_%5Cphi$ ?是有限的.? 把積分分為兩部分:? $%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu%2B%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%3C1%7D%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu$ ,? 其中左邊部分由 $%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu%20%5Cleq%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%5Cgeq1%7D%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%7C%5E2d%5Cnu%5Cleq%5Clangle%5Cwidehat%20%5Cphi%2C%5Cwidehat%20%5Cphi%5Crangle%3D%5Clangle%5Cphi%2C%5Cphi%5Crangle%3B%5C%3B%5Cphi%5Cin%20L%5E2(%5Cmathbb%20R)$ 證出.? 對(duì)于右邊部分,? 因?yàn)? $%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%3D%5Cwidehat%20%5Cphi(0)%2BO(%5Cnu)$ ,? 所以有? $%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%7C%5Cleq%20%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(0)%7C%2BC%7C%5Cnu%7C%3B%5C%3B%7C%5Cnu%7C%3C1$ ,? 由于選取小波函數(shù)的第二個(gè)條件,? 所以? $%5Cwidehat%5Cphi(0)%3D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cphi(x)dx%3D0$ ,? 即? $%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%3C1%7D%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu%5Cleq%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%3C1%7D%5Cfrac%7B%7CC%5Cnu%7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu%3DC%5E2$ .

對(duì)逆變換的 b 分量進(jìn)行傅里葉變換:?? $%5Clangle%20u%2C%5Coverline%20v%5Crangle%3D%5Clangle%5Cmathcal%20Fu%2C%5Cmathcal%20F%5Coverline%20v%5Crangle$ ,? 亦即 $%5Cint_%5Cmathbb%20Ruv%5C%20dx%3D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cmathcal%20F%5Bu%5D%5Coverline%7B%5Cmathcal%20F%5B%5Coverline%20v%5D%7Dd%5Cnu$ ,? 可以得出小波逆變換等價(jià)于? $%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%5Cphi%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cfrac%7Bda%7D%7Ba%5E2%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Coverline%7B%5Cmathcal%20F_b%5Cleft%5B%5Coverline%7B%5Cphi%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%5Cright)%7D%5Cright%5D(%5Cnu)%7D%5Cmathcal%20F_b%5BW(a%2Cb)%5D(%5Cnu)d%5Cnu$ .

由傅里葉變換的性質(zhì)可以得出? $%5Coverline%7B%5Cmathcal%20F_b%5Cleft%5B%5Coverline%7B%20%5Cphi%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%5Cright)%7D%5Cright%5D%7D(%5Cnu)%3Dae%5E%7Bi%5Cnu%20x%7D%5Cwidehat%5Cphi(a%5Cnu)$ .? 而對(duì)于? $%5Cmathcal%20F_b%5BW(a%2Cb)%5D(%5Cnu)$ ,? 交換積分順序整理得到 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cmathcal%20F_b%5Cleft%5B%5Coverline%7B%5Cphi%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%5Cright)%7D%5Cright%5Df(x)dx$ ,? 亦即 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R(ae%5E%7B-i%5Cnu%20x%7D%5Coverline%7B%5Cwidehat%20%5Cphi(a%5Cnu)%7D)f(x)dx$ ,? 整理得到? $%5Cfrac%7Ba%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%7D%5Coverline%7B%5Cwidehat%5Cphi(a%5Cnu)%7D%5Cwidehat%20f(%5Cnu)$ .

于是得逆變換為? $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%7BC_%5Cphi%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cfrac%7Bda%7D%7B%7Ca%7C%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R%7C%5Cwidehat%5Cphi(a%5Cnu)%7C%5E2%5Cwidehat%20f(%5Cnu)e%5E%7Bi%5Cnu%20x%7Dd%5Cnu$ ,? 交換積分順序得到? $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%7BC_%5Cphi%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cwidehat%20f(%5Cnu)e%5E%7Bi%5Cnu%20x%7Dd%5Cnu%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%5Cphi(a%5Cnu)%7C%5E2%7D%7B%7Ca%7C%7Dda$ .? 計(jì)算右邊積分的值:? 假設(shè)?ν≠0,? 那么使用 a/ν 替換 a 得到? $%5Cint_%5Cmathbb%20R%20%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(a)%7C%5E2%7D%7B%7Ca%7C%7Dda%3D%5Cfrac%7BC_%5Cphi%7D%7B2%5Cpi%7D$ .? 代入上式得 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cwidehat%20f(%5Cnu)e%5E%7Bi%5Cnu%20x%7Dd%5Cnu%3Df(x)$ ,? 亦即證得小波逆變換的正確性.