背景：

Phong和Blinn-Phong的經(jīng)驗?zāi)Ｐ瓦^于經(jīng)驗，沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢矶x，所以計算機圖形學(xué)急需要一個能夠符合物理基本規(guī)律的光照知識，這就是輻射度量學(xué)提出的背景（基于物理光學(xué)）。

概念：

1. 輻射能，單位是焦耳，是能量，表示穿過一個曲面（類似于電磁學(xué)的高斯面）的光能。

2. 輻射通量

3. 立體角（針對球面坐標(biāo)系），類比于平面角（針對極坐標(biāo)系）：

可以得到立體角的公式：

如圖所示，設(shè)球面上的單位面積為，那么可以算出：

4. 輻射強度(Radiant Intensity)，單位為cd（坎德拉），在光學(xué)中叫做光強。他表示單位立體角的輻射通量：

5. 輻照度(Irradiance)，表示單位面積的輻射通量：

可以看出，這個量類似于我們在電磁學(xué)學(xué)到的磁通量定義公式：

所以，可以表示一個球面（或者叫高斯面）上單位面積的接收到光強。那么和有什么區(qū)別呢？表示的是一個球面上單位面積的接收到光強，而表示的是一束光的光強而已。

這個理論可以解釋為什么在Phong模型中，光強按照平方階次衰減。

如圖，離光源最近的輻照度（半徑為1），而距離光源為的輻照度，所以兩者的比值是，這就證明了衰減是平方衰減。（可以看出來這里和電磁學(xué)非常相似，道理都是相通的）

6. 輻射率(Radiance)，又叫光亮度。這是最常用（最重要）的一個物理量，也是構(gòu)建渲染方程的主要物理量。他每表示單位立體角，每單位垂直面積的輻射通量。很像是Intensity和irradiance的結(jié)合。它同時指定了光的方向與照射到的表面所接受到的亮度。（就是這個單位面積在某個方向上吸收的光能）

其中是入射點。

那么和的關(guān)系是啥呢？作如下變形：

這樣進一步得到：

其中是上半球。所以這個式子很好解釋了Radiance是單位面積在某個方向上接受到的光強，而Irradiance是整個Radiance的求和（即所有方向上接收到的光強的總和）。

BRDF函數(shù)與渲染方程：

考慮一個位置為的單位面積，接收到某個方向的光強，經(jīng)過材質(zhì)的吸收能量后，反射出的光強為，為了衡量反射出的光強與入射的光強的關(guān)系，類比于反射率的定義，我們定義一個函數(shù)來表示這個關(guān)系：

這個函數(shù)，就是BRDF函數(shù)。因為這個函數(shù)的物理意義就是反射率，所以又叫做反射率函數(shù)。

因此，反射出的光強可以解出來是：

這就是反射方程。

考慮到物體還能自身發(fā)光，所以反射出的光強還包括物體自身的光強：

這就是渲染方程。

渲染方程的物理意義

渲染方程可以這樣寫：

大部份物理意義上面已經(jīng)說過了，因為這里的積分其實本質(zhì)是一種卷積，所以可以用算子來簡化，這里講解一下算子理解，為了簡化方程，我們可以這樣寫一個方程大致表示渲染方程：

這是一種遞歸的寫法，$L$為反射光強，$E$為光源光強，而$K$是反射算子（一種矩陣）。由線性代數(shù)的知識有：

由泰勒展開，有：

所以反射光強：

所以可以理解為，反射光強等于光源光強，加上光源經(jīng)一次反射后的光強，加上光源經(jīng)兩次反射后的光強，以此類推。這就是真實的全局光照了。

蒙特卡諾積分

現(xiàn)在有了渲染方程，但如果直接數(shù)值方法計算定積分，效率太低了。所以引入概率學(xué)的蒙特卡諾方法，類似于幾何概型。

蒙特卡諾方法會將：

以概率的角度，求出他的近似值。

考慮一個函數(shù)圖像：

選定一個隨機變量，遵循某種分布。從這個分布隨機挑選出一個值，因為這個集合關(guān)系，所以就會導(dǎo)致的范圍為：

所以決定了矩形的寬度，可以用來計算矩形面積。

然后取作為矩形的高度，然后計算矩形面積：

重復(fù)$N$次，最后取算術(shù)平均數(shù)，就是這個積分的近似值了（是不是很像幾何概型）：

于是：

如果我們采用均勻分布，那么，就有，這個時候每次的獲取的矩形面積的寬度都是，于是每次隨機計算出的矩形面積為：

于是：

證明蒙特卡諾積分的正確性

因為蒙特卡諾是概率模型，我們計算數(shù)學(xué)期望，如果值就是積分本身，那么這個模型就是正確的：

證明完畢