不自量力 -- 量子隧穿

2021-10-20 13:46 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

量子隧穿是描述粒子穿過在經(jīng)典力學(xué)里不允許穿過的地方的現(xiàn)象.

在經(jīng)典力學(xué)里,? 一個能量為 E 的質(zhì)點是不允許通過勢能超過 E 的區(qū)域的,? 因為在這部分區(qū)域內(nèi),? 質(zhì)點能量為負值,? 這是不允許的.

但在量子力學(xué)里,? 無論粒子為何值,? 都有幾率穿過勢能大于自身能量的區(qū)域.

考慮最簡單的"屏障":? 方形勢壘.? 一維方形勢壘有兩個參數(shù):? 勢能 U? 和勢壘寬度 a.

為了便捷,? 把坐標(biāo)原點設(shè)為勢壘左邊界,? 則 a 為勢壘右邊界.? 下圖展示了勢壘的形狀

勢場可以表達為? $U(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7DU_0%2C%5C%2Cx%5Cin%5B0%2Ca%5D%5C%5C0%2Cotherwise%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .? 定態(tài)薛定諤方程為 $-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%5Cpsi''%2BU%5Cpsi%3DE%5Cpsi$ ,? 其中 m 是粒子質(zhì)量,? ψ 是描述粒子的波函數(shù),? E 是粒子的能量.

為了方便書寫,? 設(shè)? $k_1%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2mE%7D%7D%7B%5Chbar%7D%2Ck_2%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2m(E-U_0)%7D%7D%7B%5Chbar%7D$ ,? 則定態(tài)方程可以寫為 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cpsi''%2Bk_1%5E2%5Cpsi%3D0%2C%5C%2Cx%5Cnotin%5B0%2Ca%5D%5C%5C%5Cpsi''%2Bk_2%5E2%5Cpsi%3D0%2C%5C%2Cx%5Cin(0%2Ca)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 可以解得? $%5Cpsi(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7DA_1e%5E%7Bik_1x%7D%2BA_2e%5E%7B-ik_1x%7D%2C%5C%2Cx%5Cin(-%5Cinfty%2C0)%5C%5CB_1e%5E%7Bik_2x%7D%2BB_2e%5E%7B-ik_2x%7D%2C%5C%2Cx%5Cin(0%2Ca)%5C%5CC_1e%5E%7Bik_1x%7D%2BC_2e%5E%7B-ik_1x%7D%2Cx%5Cin(a%2C%2B%5Cinfty)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .

在這里的著重點是粒子如何穿過勢壘,? 而不是對粒子進行模擬,? 所以可以假設(shè)粒子從-∞向x正方向傳播,??并且粒子在經(jīng)過勢壘左右邊界時都會有反射.? 觀察上面的波函數(shù),? 三個表達式左邊一項描述粒子從x負向x正傳播,? 右邊一項描述粒子從x正向x負傳播,? 考慮假設(shè)的條件知道 C? = 0.

因為波函數(shù)必定連續(xù),? 把 x = 0, x = a 代入波函數(shù)得? $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7DA_1%2BA_2%3DB_1%2BB_2%5C%5CB_1e%5E%7Bik_2a%7D%2BB_2e%5E%7B-ik_2a%7D%3DC_1e%5E%7Bik_1a%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .? 在勢壘邊界的鄰域?qū)ρΧㄖ@方程積分可以知道 [略],? 波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在勢壘邊界處也是連續(xù)的,? 又得 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dk_1(A_1-A_2)%3Dk_2(B_1-B_2)%5C%5Ck_2(B_1e%5E%7Bik_2a%7D-B_2e%5E%7B-ik_2a%7D)%3Dk_1e%5E%7Bik_1a%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .? 現(xiàn)有5個未知系數(shù)和4個線性方程,? 可以解得 A?, B?, B?, C? 與 A? 之間的關(guān)系:? 設(shè)? $u%20%3D%20e%5E%7Bik_2a%7D(k_1-k_2)%5E2-e%5E%7B-ik_2a%7D(k_1%2Bk_2)%5E2$ ,? 則有

$A_2%3D2i%5Csin(k_2a)(k_1%5E2-k_2%5E2)u%5E%7B-1%7DA_1$

$B_1%3D-2e%5E%7B-ik_2a%7Dk_1(k_1%2Bk_2)u%5E%7B-1%7DA_1$

$B_2%3D2e%5E%7Bik_2a%7Dk_1(k_1-k_2)u%5E%7B-1%7DA_1$

$C_1%3D-4e%5E%7B-ik_1a%7Dk_1k_2u%5E%7B-1%7DA_1$

由此可以得到勢壘對粒子的反射系數(shù) $R%3D%5Cfrac%7B%7CA_2%7C%5E2%7D%7B%7CA_1%7C%5E2%7D$ ?和透射系數(shù)? $T%3D%5Cfrac%7B%7CC_1%7C%5E2%7D%7B%7CA_1%7C%5E2%7D$ .? 經(jīng)過稍微計算后得 [mma是好文明]?設(shè)? $v%3D%5Cleft(k_1%5E2-k_2%5E2%5Cright)%5E2%5Csin%5E2(k_2a)%2B4k_1%5E2k_2%5E2$ ,? 則有?? $R%3D%5Cleft(k_1%5E2-k_2%5E2%5Cright)%5E2%5Csin%5E2(k_2a)v%5E%7B-1%7D%3B%5C%2CT%3D4k_1%5E2k_2%5E2v%5E%7B-1%7D$ ,? 不難看到 R + T = 1.??

需要注意到當(dāng) E?≥?U? 時,? k? 才是實數(shù).? 但上述推導(dǎo)并沒有假定?E?≥?U?,? 也就是在 E <?U? 的情況推導(dǎo)也是正確的.? 設(shè)在?E <?U? 時,??k? = i k?,? 這時?k? 為實數(shù).? 代入上式得到? $v%3D%5Cleft(k_1%5E2%2Bk_3%5E2%5Cright)%5E2%5Csinh%5E2(k_3a)%2B4k_1%5E2k_3%5E2$ 和? $R%3D%5Cleft(k_1%5E2%2Bk_3%5E2%5Cright)%5E2%5Csinh%5E2(k_3a)v%5E%7B-1%7D%3B%5C%3BT%3D4k_1%5E2k_3%5E2v%5E%7B-1%7D$ .? 其中 sinh 是雙曲正弦函數(shù),? 定義為? $%5Csinh(x)%3D0.5(e%5Ex-e%5E%7B-x%7D)$ .

下面把反射系數(shù)和透射系數(shù)的圖像畫出來.? 以勢壘寬度 a 為橫軸,? 紅色曲線為反射系數(shù),? 藍色曲線為透射系數(shù).

可以看到,? 當(dāng)?E?≥?U? 時,? 無論勢壘有多寬,? 粒子總能透過.? 但?E <?U? 時,? 粒子透過勢壘的概率隨著勢壘寬度的增加而呈指數(shù)下降.

數(shù)學(xué)上也可以驗證這個結(jié)論,? 但估算過程有點繞就不在這里展示了.

desmos展示:?https://www.desmos.com/calculator/eook4zcpax

在經(jīng)典力學(xué)里,??E <?U? 時,? 在勢壘內(nèi)粒子能量變?yōu)樨摂?shù).? 但這在量子力學(xué)里并說不通,? 這是因為波函數(shù)的動量算符與勢能算符不對易,? 這說明 E 表示的是粒子的平均能量,? 在局部里粒子能量不能確定,? 這就造成了勢壘內(nèi)粒子的能量有可能超過?U?.

另外,? 對于復(fù)雜形狀的勢壘,? 可以近似地看作很多很窄的方形勢壘組成,? 從而計算出反射系數(shù)和透射系數(shù).? 但推論實在太復(fù)雜,? 所以這里只說結(jié)果略去過程了.