第 28 講：雙強(qiáng)鏈
何為鏈，鏈?zhǔn)鞘裁?？鏈?zhǔn)且环N動(dòng)態(tài)、靈活的證明思路鏈條。
Part 1?摩天樓（Skyscraper）
如圖所示，我們觀察到一個(gè)特別的結(jié)構(gòu)。首先是r39，r39上都有關(guān)于4的共軛對(duì)，分別是r3c48(4)和r9c47(4)。而奇怪的是，它長(zhǎng)得很像之前學(xué)習(xí)到的一種數(shù)獨(dú)技巧：孿生二鏈列，而且用這個(gè)技巧完全可以得到應(yīng)有的所有刪數(shù)。而現(xiàn)在我們用另外一個(gè)視角來(lái)看這個(gè)結(jié)構(gòu)。r3c8(4)一共有兩種可能：要么r3c8 = 4，要么r3c8 <> 4。那么我們來(lái)看一下，當(dāng)r3c8 <> 4時(shí)，會(huì)怎么樣呢？
當(dāng)r3c8 <> 4時(shí)，由于r3(4)共軛對(duì)，所以r3c4 = 4，所以r9c4 <> 4了。于是，r9(4)共軛對(duì)就用起來(lái)了：因?yàn)閞9c4 <> 4，所以r9c7 = 4。那么縮略一下說(shuō)法，就是當(dāng)r3c8 <> 4時(shí)，r9c7 = 4。
而r3c8 = 4是另外一種情況，這意味著r3c8自己可以直接填4。
所以綜上，一共只有兩種填數(shù)情況，卻導(dǎo)致了r9c7和r3c8里面至少一個(gè)單元格是填4的，所以r9c7(4)和r3c8(4)共同對(duì)應(yīng)的地方，就不應(yīng)該填入4；否則它將使得這兩個(gè)單元格都不能放4，出現(xiàn)違背結(jié)論的矛盾。
那么，為什么說(shuō)“至少有一個(gè)單元格”，而不是“有且僅有一個(gè)單元格”呢？這一點(diǎn)，我們?cè)赪ing結(jié)構(gòu)一節(jié)里面已經(jīng)提到過(guò)一部分原因，這里針對(duì)這個(gè)題目再闡述一下：雖然看似r3c8擁有填4和不填4的兩種填法是“互斥”的兩種情況，但是“當(dāng)r3c8 <> 4時(shí)，r9c7 = 4”成立，也并不意味著“當(dāng)r3c8 = 4時(shí)，r9c7 <> 4”就一定成立。所以r3c8 = 4時(shí)，也是有可能使得r9c7 = 4的。所以我們說(shuō)r9c7和r3c8至少有一格是填4的。
由于r3c8(4)和r9c7(4)至少一個(gè)單元格填4，所以不管怎么個(gè)情況，它們共同對(duì)應(yīng)的地方，就不應(yīng)該再含有候選數(shù)4，所以刪除掉它們。對(duì)應(yīng)圖中的話，就應(yīng)該為r1c7, r7c8 <> 4。
這個(gè)技巧稱為摩天樓（Skyscraper），而摩天樓是屬于雙強(qiáng)鏈（Two-strong-link Chain）里面的一個(gè)特殊的結(jié)構(gòu)。那么，什么是雙強(qiáng)鏈呢？雙強(qiáng)鏈，顧名思義，也就是有兩個(gè)強(qiáng)關(guān)系的鏈。那，什么是強(qiáng)關(guān)系呢？接下來(lái)我們來(lái)介紹一下，關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)鏈的基本術(shù)語(yǔ)及內(nèi)容。
Part 2 基本鏈理論和術(shù)語(yǔ)
我們從剛才的示例之中，學(xué)習(xí)到了雙強(qiáng)鏈的其中一個(gè)特殊結(jié)構(gòu)：摩天樓。我們定義出幾種說(shuō)法，為了方便觀察和理解：
真（True），指的是某一個(gè)候選數(shù)直接填入到盤面之中的情況，即用等號(hào)=表示的情況；
假（False），指的是某一個(gè)候選數(shù)從盤面之中消失的情況，即用不等號(hào)!=或<>表示的情況；
強(qiáng)關(guān)系（也稱強(qiáng)鏈關(guān)系，Strong Inference）：如果某一候選數(shù)為假，則得到另外一個(gè)候選數(shù)為真的，就稱這兩個(gè)候選數(shù)有強(qiáng)關(guān)系；
弱關(guān)系（也稱弱鏈關(guān)系，Weak Inference）：如果某一候選數(shù)為真，則得到另外一個(gè)候選數(shù)為假的，就稱為兩個(gè)候選數(shù)有弱關(guān)系；
節(jié)點(diǎn)（Node）：結(jié)構(gòu)的每一個(gè)真假討論的點(diǎn)都是一個(gè)節(jié)點(diǎn)；
鏈頭或鏈?zhǔn)?/strong>（Head），指的是鏈結(jié)構(gòu)在推導(dǎo)過(guò)程之中的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)；
鏈末或鏈尾（Bottom），指的是鏈結(jié)構(gòu)在推導(dǎo)過(guò)程之中的最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)；
交集或共同作用域（Intersection），指的是鏈頭和鏈尾共同對(duì)應(yīng)的地方（或者說(shuō)，都可以看得到的地方）。
那么來(lái)總結(jié)一下剛才的推導(dǎo)方式：
分某一個(gè)候選數(shù)的真假兩種填數(shù)情況進(jìn)行討論，當(dāng)其為假時(shí)，引出一個(gè)真和假的交替推導(dǎo)序列，然后得到尾部為真的情況。而因?yàn)轭^部還有可能為真，所以頭尾的兩個(gè)候選數(shù)至少有一個(gè)為真，因此刪除頭尾兩候選數(shù)的交集。
那么，這個(gè)“真和假的交替推導(dǎo)序列”就被稱為標(biāo)準(zhǔn)鏈（簡(jiǎn)稱鏈，Alternating Inference Chain，簡(jiǎn)稱AIC）。一般而言，只要我們畫出標(biāo)準(zhǔn)鏈結(jié)構(gòu)，就可以直接在圖上體現(xiàn)邏輯，也就可以不需要給不知道邏輯的小伙伴講解了。
Part 3?鏈的呈現(xiàn)方式
鏈可以用文本形式或圖像形式呈現(xiàn)，下面來(lái)說(shuō)明一下，如何使用文本形式表達(dá)。
我們使用候選數(shù)1==候選數(shù)2或候選數(shù)1=候選數(shù)2的方式，表示兩個(gè)候選數(shù)形成強(qiáng)關(guān)系，例如r3c4(4)==r3c8(4)或r3c4(4)=r3c8(4)都表示這兩個(gè)數(shù)形成了強(qiáng)關(guān)系；而使用候選數(shù)1--候選數(shù)2或候選數(shù)1-候選數(shù)2的方式表示兩個(gè)候選數(shù)形成弱關(guān)系，例如r3c4(4)--r9c4(4)或r3c4(4)-r9c4(4)都表示這兩個(gè)數(shù)形成了弱關(guān)系；而圖上的鏈寫作
另外，如果候選數(shù)涉及相同數(shù)值，那么可以直接寫單元格，而省去候選數(shù)數(shù)值，將它寫在最后，比如前面的示例里的文本書寫格式可以簡(jiǎn)化為
下面來(lái)說(shuō)一下如何使用圖像呈現(xiàn)鏈結(jié)構(gòu)。一般來(lái)說(shuō)，我們呈現(xiàn)鏈結(jié)構(gòu)的時(shí)候，將使用箭頭畫法，來(lái)表示推導(dǎo)的順序和方向。并用實(shí)線箭頭表示強(qiáng)關(guān)系，虛線箭頭表示弱關(guān)系。如圖所示，這是前面示例的鏈畫法。
Part 4 原理進(jìn)一步剖析
4-1 鏈的頭尾可以同真嗎？
顯然，這一點(diǎn)在剛才的題目文字里已經(jīng)說(shuō)明了。鏈頭假設(shè)為假的時(shí)候，可以得到鏈尾為真；而鏈頭還可能為真，所以刪去交集。雖說(shuō)兩種假設(shè)是互斥的，但不代表結(jié)論就必須和假設(shè)一樣互斥。結(jié)論的內(nèi)容是通過(guò)假設(shè)得到的；但結(jié)論可能通過(guò)其它渠道得到，并不是僅通過(guò)唯一的方式來(lái)得到，而且我們?cè)谶@個(gè)題目的解尚未得到之前，任何情況都是可能存在的，甚至我們可以找到兩條鏈，得到同一個(gè)候選數(shù)既可以真又可以假。你可能會(huì)說(shuō)，這不是不可能嗎？這是可能的，原因在于我們是通過(guò)我們自己設(shè)定的假設(shè)前提才得到的結(jié)果，而假設(shè)和結(jié)論實(shí)際上并沒(méi)有直接的關(guān)系。所以，鏈的頭尾可以同真。
從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，高中你一定學(xué)過(guò)命題與邏輯一節(jié)，我們提到過(guò)，原命題和否命題的真值無(wú)直接關(guān)系（也就是說(shuō)。原命題不管是真還是假，否命題都無(wú)法確定其真假性）。而我們可以注意到，候選數(shù)a假得到候選數(shù)b真和候選數(shù)a真得到候選數(shù)b假顯然是互為否命題的，而它們并沒(méi)有直接的真假性的關(guān)聯(lián)，所以一個(gè)命題即使能夠得到，也推不出另外一個(gè)命題。
我們來(lái)這一則示例里的摩天樓技巧，再對(duì)比題目的解來(lái)看，就可以發(fā)現(xiàn)，鏈的頭尾確實(shí)是同真的。
可以看到，r5c6(2)和r9c4(2)在終盤下確實(shí)同真，而題目確實(shí)是唯一解的。
4-2 鏈的長(zhǎng)度有什么結(jié)論嗎？
在剛才介紹了相關(guān)術(shù)語(yǔ)之后，我們就可以把之前的邏輯用強(qiáng)弱關(guān)系重新解釋一遍了。
設(shè)r3c8(4)為假，則r3c8(4)和r3c4(4)有強(qiáng)關(guān)系，r3c4(4)和r9c4(4)有弱關(guān)系，r9c4(4)和r9c7(4)有強(qiáng)關(guān)系。
因?yàn)檫壿嫷耐茖?dǎo)是“假 -> 真 -> 假 -> 真”這樣，設(shè)開頭為假，并且真假交替出現(xiàn)的，所以AIC具有兩個(gè)基本特性：
鏈必須以強(qiáng)關(guān)系開頭、強(qiáng)關(guān)系結(jié)尾；
鏈強(qiáng)弱關(guān)系是交替出現(xiàn)的。
那么，還有一個(gè)由這兩點(diǎn)可以得到的推論。必須強(qiáng)關(guān)系開頭、強(qiáng)關(guān)系結(jié)尾，并且強(qiáng)弱關(guān)系交替出現(xiàn)，那么結(jié)構(gòu)只可能是“強(qiáng)弱強(qiáng)”、“強(qiáng)弱強(qiáng)弱強(qiáng)”等等了，那么強(qiáng)關(guān)系數(shù)量始終會(huì)比弱關(guān)系數(shù)量多一個(gè)。那么強(qiáng)關(guān)系設(shè)有n個(gè)的話，弱關(guān)系就得有(n-1)個(gè)，那么組合形成的AIC就有(2n-1)個(gè)。因?yàn)閚是正整數(shù)，所以(2n-1)就應(yīng)該是一個(gè)單數(shù)（正的奇數(shù)）。所以，AIC的長(zhǎng)度（Length），即AIC涉及的強(qiáng)弱關(guān)系的總數(shù)，就一定是一個(gè)單數(shù)。而節(jié)點(diǎn)數(shù)量一定比長(zhǎng)度大1，所以節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)該為2n個(gè)，則為一個(gè)雙數(shù)（正的偶數(shù)）。
那么，雙強(qiáng)鏈，顧名思義，這種結(jié)構(gòu)必須只能有兩個(gè)強(qiáng)關(guān)系；而它具有兩個(gè)強(qiáng)關(guān)系和一個(gè)弱關(guān)系，所以雙強(qiáng)鏈的長(zhǎng)度一定為3。
4-3??“強(qiáng)-強(qiáng)-強(qiáng)”也是鏈？
再來(lái)看一則問(wèn)題。比如示例上的c4(4)。因?yàn)閏4(4)也是共軛對(duì)，所以它肯定可以滿足強(qiáng)關(guān)系的定義：當(dāng)r3c4 <> 4時(shí)，r9c4 = 4。那為什么r3c9(4)和r9c4(4)就必須得是弱關(guān)系？
因?yàn)槲覀冊(cè)谑褂面湹倪^(guò)程之中，強(qiáng)弱關(guān)系是交替出現(xiàn)的。換句話說(shuō)，真假情況是交替出現(xiàn)的，而當(dāng)AIC的開頭r3c8(4)假設(shè)為假后，推理到r3c4(4)時(shí)，就已經(jīng)是真了，所以r3c4(4)和r9c4(4)使用的是弱關(guān)系的定義。雖然，這里確實(shí)也滿足強(qiáng)關(guān)系這一說(shuō)法。
也就是說(shuō)，網(wǎng)上給出的一部分資料，寫的是“‘強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)’的標(biāo)準(zhǔn)鏈結(jié)構(gòu)亦成立”，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的，它犯了本質(zhì)性的錯(cuò)誤。希望你務(wù)必引起注意和重視。
在闡述了基本表達(dá)方式后，接下來(lái)我們繼續(xù)介紹雙強(qiáng)鏈結(jié)構(gòu)。
Part 5 雙線風(fēng)箏（Two-string Kite）
如圖所示，如果r1c9(8)為假，則r1c5(8)真，r3c4(8)假，r7r4(8)真。但是，r1c9(8)還可以為真。所以兩種情況之下，r1c9(8)和r7c4(8)至少一個(gè)為真。故刪除兩個(gè)候選數(shù)共同對(duì)應(yīng)的位置，即r7c9(8)。
鏈文本表示如下：
這個(gè)結(jié)構(gòu)稱為雙線風(fēng)箏（Two-string Kite）。
Part 6?普通雙強(qiáng)鏈
如圖所示，假設(shè)r1c3(7)假，可以得到r5c9(7)為真，所以r1c3(7)和r5c9(7)至少一個(gè)為真，故刪除交集。
這個(gè)結(jié)構(gòu)稱為普通的雙強(qiáng)鏈。
根據(jù)技巧的發(fā)現(xiàn)者描述，雙強(qiáng)鏈一共分為摩天樓、雙線風(fēng)箏和普通的雙強(qiáng)鏈三種，而由于雙線風(fēng)箏和摩天樓的形狀較為特殊，技巧發(fā)現(xiàn)者優(yōu)先發(fā)現(xiàn)這兩種結(jié)構(gòu)，并隨即為其取名。后續(xù)的不屬于雙線風(fēng)箏和摩天樓的則沒(méi)有自己?jiǎn)为?dú)的名稱。
摩天樓的兩個(gè)強(qiáng)關(guān)系是產(chǎn)生于同兩行或兩列的，而雙線風(fēng)箏的兩個(gè)強(qiáng)關(guān)系則產(chǎn)生于某行和某列。如果不滿足上述兩個(gè)要求的，就是普通的雙強(qiáng)鏈。換句話說(shuō)，摩天樓的強(qiáng)關(guān)系是“平行”的，而雙線風(fēng)箏的強(qiáng)關(guān)系則是“垂直”的，而強(qiáng)關(guān)系既不平行也不垂直，只能算是普通的雙強(qiáng)鏈結(jié)構(gòu)。
Part 7?共軛對(duì)和強(qiáng)關(guān)系的異同
那么，雙強(qiáng)鏈的基本構(gòu)型我們就學(xué)到這里。之所以闡述雙強(qiáng)鏈，是因?yàn)橛袃纱蠛锰帲阂粊?lái)是為了讓你更清晰地掌握鏈這個(gè)數(shù)獨(dú)技巧，從較短的鏈開始學(xué)習(xí)；二來(lái)，這種結(jié)構(gòu)由于簡(jiǎn)單，所以非常好觀察，只需要我們經(jīng)常去關(guān)注共軛對(duì)就好。不過(guò)，根據(jù)之前的理論，我們發(fā)現(xiàn)，共軛對(duì)就產(chǎn)生于同一個(gè)區(qū)域下只有兩個(gè)位置可填的情況，而定義恰好也滿足強(qiáng)關(guān)系的。
實(shí)際上，強(qiáng)關(guān)系的定義比共軛對(duì)更寬泛一些，共軛對(duì)指的是同區(qū)域下只有兩個(gè)位置可填的相同數(shù)字，或是同一雙值格下的兩個(gè)候選數(shù)。但跨區(qū)域下的不同數(shù)字，共軛對(duì)并不包括在內(nèi)，而強(qiáng)關(guān)系在之后，我會(huì)告訴大家如何去尋找和使用這樣的特別情況。所以你只需要記住一點(diǎn)，因?yàn)槟壳暗膹?qiáng)關(guān)系的定義可以完全用共軛對(duì)實(shí)現(xiàn)，所以我們就用共軛對(duì)來(lái)尋找吧！共軛對(duì)找起來(lái)會(huì)很快的哦！
