拉氏變換的卷積性質(zhì)和函數(shù)正交性

2023-08-26 23:13 作者:awyayb 0人讀過 | 我要投稿

? 在上文提到的拉普拉斯變換，還有如延遲性質(zhì)等在處理信號中常用的性質(zhì)。這里就不再贅述，接下來講解一下更為重要用途更廣的卷積性質(zhì),先來

? 卷積：? $(f%5Cast%20g)(x)%3D%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BD%7D%7Df(y)g(x-y)dy$ 。而在時域上的函數(shù)，定義域為 $t%5Cin%20%5B0%2C%2B%5Cinfty)$ 。卷積就寫成 $(f%5Cast%20g)(t)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Ctau)g(t-%5Ctau)d%5Ctau%20$

? 由此，就可以來推導拉普拉斯變換的卷積性質(zhì)。 $%5Cmathcal%7BL%7D%5B(f%5Cast%20g)(t)%5D%3D%5Cmathcal%7BL%7D%5Bf(t)%5D%5Ccdot%20%5Cmathcal%7BL%7D%5Bg(t)%5D$ 。這是一個非常好的性質(zhì)，可以把本身復雜的函數(shù)乘積后的積分變成了兩個函數(shù)之間的相乘。極大的簡化了求解時的運算。證明：將卷積 $(f%5Cast%20g)(t)$ 帶入拉氏變換當中， $%5Cmathcal%7BL%7D%5B(f%5Cast%20g)(t)%5D%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Ctau)%5Ccdot%20g(t-%5Ctau)d%5Ctau%5De%5E%7B-st%7Ddt$ 由于積分區(qū)域連續(xù)，所以可以交換積分順序，使得 $%5Cmathcal%7BL%7D%5B(f%5Cast%20g)(t)%5D%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Ctau)%5B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Dg(t-%5Ctau)e%5E%7B-st%7Ddt%5Dd%5Ctau$ ，可以很顯然的發(fā)現(xiàn)，中括號里就是對函數(shù) $g(t-%5Ctau)$ 的拉普拉斯變換。利用上文所說的時移性質(zhì)，可以得到中括號里的積分等于 $%5Cmathcal%7BG%7D(s)e%5E%7B-s%5Ctau%7D$ ，所以 $%5Cmathcal%7BL%7D%5B(f%5Cast%20g)(t)%5D%3D%5Cmathcal%7BG%7D(s)%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Ctau)e%5E%7B-s%5Ctau%7Dd%5Ctau%3D%5Cmathcal%7BF%7D(s)%5Ccdot%20%5Cmathcal%7BG%7D(s)$ 。至此就完成了對拉普拉斯變換卷積性質(zhì)的證明。

? 卷積定義是 $(f%5Cast%20g)(x)$ ，而對于 $f$ 和 $g$ ，我們希望可以有以下交換性質(zhì) $(f%5Cast%20g)(x)%3D(g%20%5Cast%20f)(x)$ 令 $x-y%3D%5Cxi%20$ 就可以得到 $(f%5Cast%20g)(x)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(y)g(x-y)dy%3D%5Cint_%7B%2B%5Cinfty%7D%5E%7B-%5Cinfty%7Df(x-%5Cxi)g(%5Cxi)d(-%5Cxi)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Cxi-x)g(%5Cxi)d%5Cxi%3D(g%5Cast%20f)(x)$

? ?對于任意的函數(shù)相乘再積分，如 $%5Cint%5Ea_bf(x)g(x)dx$ ?記作 $(f%2Cg)$ 可以發(fā)現(xiàn)有如下三條性質(zhì)。

嚴格正定性? $(f%2Cf)%3D%5Cint%5Ea_b%7Cf%7C%5E2dx%5Cgeq%200$ 。
共軛對稱性（在此自變量為實數(shù)所以簡稱共軛性） $(f%2Cg)%3D%5Cint%5Ea_bf(x)g(x)dx%3D%5Cint%5Ea_bg(x)f(x)dx%3D(g%2Cf)$
第一變量線性? $(mf%2Bng%2Ch)%3D%5Cint%5Ea_b(mf(x)%2Bng(x))h(x)dx%3Dm%5Cint%5Ea_bf(x)h(x)dx%2Bn%5Cint%5Ea_bg(x)h(x)dx%3Dm(f%2Ch)%2Bn(g%2Ch)$

? 滿足了內(nèi)積空間的定義。所以， $(f%2Cg)$ 是 $H$ 上的一個內(nèi)積，而定義了內(nèi)積的空間 $H$ 被稱為內(nèi)積空間。而在熟知的 $R%5En$ 中的向量組成的內(nèi)積空間酒量結果如果兩個向量相互垂直即稱之為正交向量，并且 $(a%2Cb)%3D0$ 。借此可以得到在求解傅里葉系數(shù)時對于 $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcos%7B(nx)%7Dsin%7B(mx)%7Ddx$ ， $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dsin%7B(mx)%7Dsin%7B(nx)%7Ddx$ , $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcos%7B(nx)%7Dcos%7B(mx)%7Ddx$ 這類三角函數(shù)在 $x%5Cin%20%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 乘積之后的積分。

首先當 $n%3D0$ 時， $cos0%3D1$ 。所以先考慮特殊情況也就是 $1$ 和 $cosnx$ 正交， $I%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcosnxdx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dsinnx%7C%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%3D0$
第二種情況就是驗證 $1$ 和 $sinnx$ 正交， $I%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dsinnxdx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dcosnx%7C%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%3D0$
對于 $cos(nx)$ 和 $cos(mx)$ 兩個函數(shù)的正交關系，可以用積化和差得到 $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcos(nx)cos(mx)dx%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Bcos(n%2Bm)x%2Bcos(n-m)x%5Ddx$ ，當 $n%5Cneq%20m$ 時，可以分解為兩個第一種情況的積分，所以積分值等于 $0$ ，而在 $m%3Dn$ 時， $cos(n-m)x%3D1$ ,積分值為 $%5Cpi$ ，所以 $cosnx$ 不和自身正交
對于 $sin(nx)$ 和 $sin(mx)$ 的正交關系，也可以用積化和差得到 $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dsin(nx)sin(mx)dx%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Bcos(n-m)x-cos(m%2Bn)x%5D$ 并且與3相同，在 $n%5Cneq%20m$ 時，可以拆分為兩個1的積分證明積分值等于 $0$ ，而當 $m%3Dn$ 時 $cos(n-m)x%3D1$ ，積分值為 $%5Cpi$ ，所以 $sinnx$ 不和自身正交
對于 $cos(nx)$ 和 $sin(mx)$ 的正交關系，依舊可以用積化和差來進行第一步的操作， $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcos(nx)sin(mx)dx%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Bsin(n%2Bm)x%2Bsin(m-n)x%5Ddx$ ，這次可以發(fā)現(xiàn)，無論 $m$ 和 $n$ 是否相等，積分值都等于 $0$
返璞歸真，來討論一下 $cos0$ 和 $cos0$ 之間的正交關系， $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D1%5E2dx%3D2%5Cpi$