抽象化是考研數(shù)學(xué)命題的難點問題。如何出一道質(zhì)量比較高的難題主要有兩個思想層面。 1：具體問題抽象化 2：簡單問題復(fù)雜化 第一種思想誕生了抽象化問題，如何處理抽象化問題成為了難點。主要是兩個思路。一種是化抽象為具體。這就形成了求函數(shù)f(x)的問題。求函數(shù)f(x)是考研中的重難點，通常形成綜合題難題，因為這是研究對象的生產(chǎn)者。求函數(shù)f(x)也分為兩個大方面。一是已知關(guān)系式求解函數(shù)，一種是求關(guān)系式列方程。 已知關(guān)系式求解函數(shù)也分為幾個方面。 1：利用極限定積分的常數(shù)性質(zhì)，等式兩邊同時求極限，定積分解方程。 2：極限的等式脫帽法。將極限符號去掉。 3：通過求極限的方法求f(x)。將x看成一個通用點x0，然后將求f(x0)的問題看成求limf(x)，x趨向于x0。這個通常和數(shù)列極限結(jié)合，題目難度就會非常高。和數(shù)列極限結(jié)合也分兩種，一種是構(gòu)造一個首項為x0的收斂數(shù)列，一種是構(gòu)造極限為x0 的收斂數(shù)列，然后通過題目的遞推關(guān)系求解極限。 4：微分方程。微分方程整個章節(jié)就是求函數(shù)f(x)。當(dāng)看到含導(dǎo)數(shù)，變限積分的等式時，一定要想到微分方程。 求關(guān)系式列方程也有很多內(nèi)容。在遞推數(shù)列極限中，有時需要自己去構(gòu)造Xn和Xn-1的關(guān)系。在導(dǎo)數(shù)，積分，微分方程中，這形成了幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。其實本質(zhì)是找關(guān)系列方程的問題。 第二種就是純抽象化問題。在極限中一個經(jīng)典內(nèi)容就是單調(diào)有界準則證明極限存在。這不僅適用于數(shù)列極限，也適用于函數(shù)極限。 簡單問題復(fù)雜化通常是通過將研究對象廣義化，輔以各種變形，將一個原本簡單的問題復(fù)雜化。相對的，解題思路那就是反其道而行之，將復(fù)雜問題簡單化。由此誕生出了很多經(jīng)典的解題思維。比如換元法，公式法，放縮法等等，無非就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。 換元法通常有兩種看問題的角度。一種是將復(fù)雜的式子看成是某一函數(shù)或者變量本身，這叫整體代換。另一種則是將復(fù)雜式子看成是某一函數(shù)或者變量的導(dǎo)數(shù)，然后通過求導(dǎo)公式的逆用找到原函數(shù)。換元法的主要目的就是為了化簡復(fù)雜問題。換元法在高數(shù)中屢見不鮮。計算極限的時候，有“狗”的代換，這就是整體代換。在中值定理的證明題中，換元法形成了輔助函數(shù)。當(dāng)待證明的含中值的式子不符合定理的標(biāo)準形式時，我們通過換元法進行恒等變形確定研究對象，也就是輔助函數(shù)。在不定積分的計算中，求導(dǎo)逆用形成了湊微分法，整體代換形成了第二類換元積分法。在微分方程中，換元法幫助我們解決一階微分方程的求解問題。一階微分方程的解題思路是8個字：分離變量，同時積分。當(dāng)變量不可分離時，我們使用換元法加恒等變形將原本式子變成變量可分離型進行計算。換元的本質(zhì)就是還原，將廣義化后復(fù)雜的內(nèi)容還原成簡單的形式。 公式法通常是將離散的復(fù)雜和式整合成一個整體式子。主要有等差數(shù)列求和，等比數(shù)列求和，n次方公式，定積分公式等等，其目的主要就是整合和式。 放縮法我稱之為工具人，或者清道夫。它的作用主要是為他人作嫁衣，清掃障礙。它和極限結(jié)合就形成了夾逼準則，和反常積分結(jié)合就形成了比較審斂法，但是本質(zhì)使用思路是一樣的。比如離散的和式，使用公式法無能為力，因為分母不統(tǒng)一，所以使用放縮法統(tǒng)一分母。湊定積分時總有一些余項，使得湊不出標(biāo)準定積分，于是結(jié)合放縮法除掉余項。在求積分的時候，積分不可積。所以通過放縮法改變被積函數(shù)進行積分。在反常積分申斂中，有時被積函數(shù)太復(fù)雜判斷不出來，所以先用放縮法改變被積函數(shù)再用極限比階進行判斷等等。