關(guān)鍵詞：模擬集成電路；反饋；Bode分析方法；Blackman阻抗定理

1 前言

　　在反饋電路的分析中，如果前向放大倍數(shù)為Aopen，反饋系數(shù)為β，則閉環(huán)傳遞函數(shù)Aclose=Aopen/(1+Aopenβ)，其中Aopenβ為環(huán)路增益。但是，在Aopen和β的計(jì)算中均要考慮負(fù)載效應(yīng)，即反饋網(wǎng)絡(luò)會(huì)成為前饋放大器的負(fù)載，前饋放大器也會(huì)成為反饋電路的負(fù)載。負(fù)載效應(yīng)會(huì)使Aopen和β的計(jì)算變得復(fù)雜。另外，在計(jì)算環(huán)路增益時(shí)，也要特別考慮應(yīng)該在何處斷開反饋，使環(huán)路增益的計(jì)算更加準(zhǔn)確。

　　本文介紹一種不需要斷開反饋環(huán)路的反饋分析方法——Bode 分析法。此方法由H. W. Bode 在他的書Network Analysis and Feedback Amplifier Design?中提出。

　　首先，我們觀察這樣一件事情。在前饋放大器中肯定會(huì)有晶體管存在，也許在反饋網(wǎng)絡(luò)中也有晶體管（也有可能沒有），如果將其中一個(gè)晶體管的小信號(hào)模型重點(diǎn)畫出，則其構(gòu)成的反饋電路如圖1所示。在圖1中，反饋電路被建模為一個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)，其中的壓控電流源就是其中的一個(gè)晶體管。由于小信號(hào)模型是線性模型，因此vout與vin的關(guān)系可以寫為vout=Av,close×vin，其中Av,close為閉環(huán)電壓增益。

2 Bode分析法

　　如果將晶體管的模型進(jìn)行修改，將受控源修改為獨(dú)立源，則其構(gòu)成的反饋電路如圖2所示。此時(shí)，電路中的激勵(lì)除了vin之外還有i1，因此有

?其中，系數(shù)A、B、C和D可以由下面四個(gè)式子算出：

從上面的四個(gè)式子可以看出，系數(shù)A和C是在將晶體管電流強(qiáng)制置零時(shí)計(jì)算得出的，系數(shù)B和D是在輸入置零時(shí)得出的。進(jìn)一步分析可以得出，系數(shù)A代表電路的直接饋通增益，因?yàn)樗窃趯⒕w管撤銷后的電路增益，這個(gè)增益主要是由于反饋網(wǎng)絡(luò)的直接饋通效應(yīng)所引入的；系數(shù)D與該晶體管的返回比（return ratio）有關(guān)，因?yàn)樗禽斎霝?情況下晶體管柵源電壓v1與電流i1的比值，如果將v1乘上晶體管的跨導(dǎo)gm，則gmv1這個(gè)量代表柵源電壓v1應(yīng)當(dāng)使晶體管產(chǎn)生多大的漏源電流，猶如i1經(jīng)過反饋環(huán)路一圈后在原位置處又產(chǎn)生的電流大小，因此?gmv1/i1=–gmD可以理解為是“環(huán)路增益”（–gmD=環(huán)路增益是有條件的，稍后會(huì)通過例子說明），更準(zhǔn)確的說法是該晶體管的return ratio。

　　實(shí)際上i1并不是獨(dú)立源，而是受控源，其大小為i1=gmv1。將i1=gmv1代入vout=Avin+Bi1和v1=Cvin+Di1，可以得到閉環(huán)增益的表達(dá)式

上式即為使用Bode分析法得出的閉環(huán)增益公式。我們觀察上式可以得出如下結(jié)論：

（1）當(dāng)gm=0時(shí)（gm=0代表將該晶體管撤掉），vout/vin=A。這更加直觀地說明了系數(shù)A代表電路的直接饋通增益。

（2）如果A=0，則vout/vin=gmBC/(1–gmD)，這個(gè)表達(dá)式十分類似于通過傳統(tǒng)的反饋分析方法得出的閉環(huán)增益表達(dá)式vout/vin=Aopen/(1+loop gain)。事實(shí)上，如果電路中只存在一種反饋機(jī)制，并且我們所選擇的晶體管處于反饋環(huán)路中，則gmBC就是開環(huán)增益，–gmD就是環(huán)路增益。另外，閉環(huán)增益表達(dá)式vout/vin=Aopen/(1+loop gain)實(shí)際上忽略了反饋網(wǎng)絡(luò)的前饋效應(yīng)，即忽略了系數(shù)A。

例1.利用Bode分析法計(jì)算圖3所示電路的閉環(huán)電壓增益（1種反饋機(jī)制，M2在反饋環(huán)路中，M1不參與反饋）

　　該電路為兩級(jí)放大結(jié)構(gòu)，第一級(jí)為source follower，第二級(jí)為CS stage。第一級(jí)的電阻RS引入了電流-電壓反饋，M2在該反饋環(huán)路中，而M1在反饋環(huán)路外。我們首先選擇晶體管M1進(jìn)行分析。將M1的小信號(hào)電流i1置零，電阻RD上的電流為0，因此vout=0，系數(shù)A為

借助source follower的增益公式，可以得到

?將vin置零，可以得到

另外，M1的return ratio為

?

閉環(huán)電壓增益

　　如果選擇晶體管M2進(jìn)行分析，則M2的電流i2置零時(shí)，流經(jīng)RS的電流為0，因此v1=0，id1=0，vout=0，則有

當(dāng)vin置零時(shí)，有

M2的return ratio為

閉環(huán)電壓增益

　　通過以上計(jì)算，并對(duì)比選擇M1和選擇M2計(jì)算的結(jié)果，可以得到如下結(jié)論：

（1）盡管選擇不同晶體管計(jì)算得到的系數(shù)A~D可能不同，但是閉環(huán)增益的結(jié)果是相同的。

（2）不同晶體管的return ratio可能不同，這是由于不同的晶體管可能引入不同的反饋，或者一些晶體管不參與反饋（如本例子中的M1）。當(dāng)晶體管處于反饋環(huán)路中時(shí)，則該晶體管的return ratio為該反饋環(huán)路的環(huán)路增益。如果某個(gè)晶體管的return ratio=0，則該晶體管不參與反饋。本例子中M2引入電流-電壓反饋，將輸出電流iout反饋為電壓vf，與輸入電壓vin作差后得到電壓ve，如圖4所示。其中，前向放大倍數(shù)Aopen=iout/ve=gm2，反饋系數(shù)β=vf/iout=RS，因此環(huán)路增益loop gain=Aopenβ=gm2RS，與M2的return ratio相等。

例2.利用Bode分析法計(jì)算圖5所示電路的閉環(huán)增益（2種反饋機(jī)制，M1和M2處于不同反饋環(huán)路中）

　　該電路中，M1既參與局部的電流-電壓反饋（與前一個(gè)例子中的source follower引入的反饋一樣），又參與全局的電壓-電流反饋，同時(shí)處在兩個(gè)反饋環(huán)路中；而M2只參與全局的電壓-電流反饋。

　　如果選擇M1進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)i1=0時(shí)，流經(jīng)電阻RS的電流為iin，可以得到A和C的值

將iin置零，可以得到B和D的值

M1的return ratio為

其中的gm1RS項(xiàng)與局部的電流-電壓反饋有關(guān)，gm1RSgm2RD項(xiàng)與全局的電壓-電流反饋有關(guān)。閉環(huán)增益為

　　選擇M2進(jìn)行計(jì)算可以得到系數(shù)A~D的值為

M2的return ratio為

閉環(huán)增益為

可以看到，盡管選擇M1和M2計(jì)算得到系數(shù)A~D不同，但是閉環(huán)增益相同。

3 Blackman 阻抗定理

?　　借助之前Bode 分析法的思想，如果我們將輸出量定義為端口電壓vin，將輸入量定義為同一端口的電流iin，如圖6所示，則有

這個(gè)端口的阻抗Zin=vin/iin，也可以看作是一種vin對(duì)于iin的“增益”，因此有

　　為了使上式變得更加直觀，我們定義開路環(huán)路增益（open-circuit loop gain，TOC）和短路環(huán)路增益（short-circuit loop gain，TSC）兩個(gè)量。開路環(huán)路增益的定義為：當(dāng)iin=0（端口開路）時(shí)，?gmv1/i1的值（回憶在第2節(jié)中，return ratio=?gmv1/i1可以理解為是環(huán)路增益），如圖7所示。由于iin=0，則有

由此可以得到開路環(huán)路增益

類似地，短路環(huán)路增益的定義為：當(dāng)vin=0（端口短路）時(shí)，?gmv1/i1的值，如圖8所示。由于vin=0，則有

由此可以得到短路環(huán)路增益

　　結(jié)合Zin、TOC和TSC的表達(dá)式，可以得到Blackman 阻抗定理：

其中A是當(dāng)晶體管被撤掉時(shí)的端口阻抗，即開環(huán)端口阻抗。因此要想計(jì)算端口阻抗，只需要計(jì)算A、TOC和TSC即可。另外，我們知道：

（1）當(dāng)反饋類型為電壓-電壓反饋或者電流-電壓反饋時(shí)，反饋網(wǎng)絡(luò)向輸入端反饋電壓信號(hào)，其與輸入端串聯(lián)，輸入阻抗Zin=Zin,open(1+T)，其中T為環(huán)路增益。

（2）當(dāng)反饋類型為電壓-電流反饋或者電流-電流反饋時(shí)，反饋網(wǎng)絡(luò)向輸入端反饋電流信號(hào)，其與輸入端并聯(lián)，輸入阻抗Zin=Zin,open/(1+T)。

（3）當(dāng)反饋類型為電壓-電壓反饋或者電壓-電流反饋時(shí)，反饋網(wǎng)絡(luò)檢測(cè)輸出端電壓信號(hào)，其與輸出端并聯(lián)，輸出阻抗Zout=Zout,open/(1+T)。

（4）當(dāng)反饋類型為電流-電壓反饋或者電流-電流反饋時(shí)，反饋網(wǎng)絡(luò)檢測(cè)輸出端電流信號(hào)，其與輸出端串聯(lián)，輸出阻抗Zout=Zout,open(1+T)。

將這四個(gè)阻抗表達(dá)式與Blackman 阻抗定理相比較，可知：

（1）在計(jì)算輸入阻抗時(shí)，如果TOC=0，則反饋網(wǎng)絡(luò)只向輸入端反饋電壓信號(hào)，反饋網(wǎng)絡(luò)與輸入端純串聯(lián)；如果TSC=0，則反饋網(wǎng)絡(luò)只向輸入端反饋電流信號(hào)，反饋網(wǎng)絡(luò)與輸入端純并聯(lián)。

（2）在計(jì)算輸出阻抗時(shí)，如果TSC=0，則反饋網(wǎng)絡(luò)只檢測(cè)輸出電壓信號(hào)，反饋網(wǎng)絡(luò)與輸入端純并聯(lián)；如果TOC=0，則反饋網(wǎng)絡(luò)只檢測(cè)輸出電流信號(hào)，反饋網(wǎng)絡(luò)與輸入端純串聯(lián)。

（3）如果TOC和TSC均不為0，則既有電壓反饋，又有電流反饋。

4 漸進(jìn)形式的閉環(huán)增益（Asymptotic Gain Form）

　　由第2節(jié)中推導(dǎo)得到的閉環(huán)增益表達(dá)式

再進(jìn)行延伸。當(dāng)gm=0時(shí)，vout/vin=A，因此將A記為H0。下標(biāo)0代表其為gm=0時(shí)的閉環(huán)增益。當(dāng)gm→∞時(shí)，vout/vin=A–BC/D，因此將A–BC/D記為H∞，下標(biāo)∞代表其為gm→∞時(shí)的閉環(huán)增益。又有return ratio的值T=–gmD，因此閉環(huán)增益可以表示為

因此得到閉環(huán)增益的漸進(jìn)形式：

其中，H0的意義為直接饋通增益，H∞的意義為理想增益（即將放大器作虛短和虛斷處理后，得到的增益1/β）。忽略反饋網(wǎng)絡(luò)的直接饋通時(shí)（H0=0），vout/vin=H∞T/(1+T)，這與我們所熟知的公式vout/vin=A/(1+T)=(1/β)×T/(1+T)十分符合。

參考資料

B. Razavi, Design of Analog CMOS Integrated Circuits (2nd Edition), Boston: McGraw-Hill, 2017.