【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep38】數(shù)列無窮大
今天來聊聊一個(gè)與無窮小對(duì)應(yīng)的概念——無窮大。
這一節(jié)的內(nèi)容，有的書上會(huì)叫做“廣義下的數(shù)列極限”——因?yàn)閺膰?yán)格意義上講，這種數(shù)列是發(fā)散數(shù)列，但是又是發(fā)散數(shù)列中一種比較特別的形式，尤其是它與無窮小量的關(guān)系，所以值得探討的。
之前我們了解過無窮小量的定義——極限為0的數(shù)列。
今天給出類似的無窮大量的定義——
27無窮大量
簡(jiǎn)言之，對(duì)于任意一個(gè)大數(shù)E>0，都存在一個(gè)N，使得N之后的數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值都比E大，我們翻譯成數(shù)學(xué)語言——
數(shù)列{an}為無窮大量——對(duì)于任意大數(shù)E>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|an|>E。
書上先對(duì)這個(gè)定義做了一個(gè)說明——
意思是，無窮大量是一個(gè)變量，而不是一個(gè)數(shù)，是一個(gè)變化的過程，而非一個(gè)確定的結(jié)果，不要和初等數(shù)學(xué)中，常量的概念混淆——實(shí)際上，沒有任何一個(gè)實(shí)數(shù)能夠無限之大，一旦給定一個(gè)實(shí)數(shù)，無論它有多大，它都是有限的，所以，無窮大量，也是變量有趣的地方之一，我們因此得到了對(duì)無窮的直接認(rèn)知。
接著給出了一個(gè)例子——
對(duì)于指數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)列an=Q^n，其中|Q|>1，求證an是無窮大量——
我們依然考慮定義中，實(shí)際上，對(duì)于任何定義中，關(guān)于“任意的”這個(gè)敘述，如果是在條件中，那么我們直接拿來用，如果是在結(jié)論中，我們一般用反證法：顯然無窮大極限的定義是前者，而結(jié)論是存在一個(gè)自然數(shù)N，使得不等式成立，所以，我們的目標(biāo)依然是根據(jù)已知條件，找到N——
對(duì)于任意大數(shù)E>0，若{an}為無窮大量，則存在自然數(shù)N，使得n>N時(shí)，|an|>E；
在本題中，即使得|Q^n|=|Q|^n>E；
因?yàn)閨Q|>1，所以ln |Q|>0；
由2、3，n ln?|Q|>ln E，即當(dāng)N>（ln E/ln?|Q|）時(shí)，能夠使|an|>E成立，我們?nèi)=E（ln E/ln?|Q|）+1，即可，證畢?！渲蠩（……）為取整函數(shù)，我們?cè)贓p35介紹過。
接著介紹了無窮大量的種類——
總體上分為兩大類，一種是定向的，另一種是不定向的，定向的又分為兩種——
正無窮大——不等式變?yōu)閍n>E；
負(fù)無窮大——不等式變?yōu)?an>E；
此外，其他的種類都是普通的無窮大，我們就稱之為無窮大。
接著對(duì)無窮大的符號(hào)給出了一個(gè)說明，這里打不出來，所以let it go——
這里著重指出了，無窮極限這一極限的特殊性——
說明——
顯然，無窮極限是不具有唯一性或者有界性的，所以顯然它與我們之前聊過的數(shù)列極限不是一回事；
前面極限的保號(hào)性、唯一性都是在有界性這一前提下成立的，所以，無窮極限并不具有這些性質(zhì)。
最后，介紹了無窮大量和無窮小量的關(guān)系——
關(guān)系可以簡(jiǎn)述為：互為倒數(shù)——如果數(shù)列{an}為無窮大量，那么{1/an}為無窮小量，反之亦然——
由無窮大量定義，對(duì)于任意大數(shù)E>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|an|>E；
由1,1/|an|=|1/an|<1/E=e，其中e顯然是任意小數(shù)e>0，故而{1/an}為無窮小量；
同理可證，反之也成立。
這周就到這里，下周不見不散！
