[CH12上]電子動力學的半經(jīng)典模型

2023-03-08 20:29 作者:啊嗚西嗚安 0人讀過 | 我要投稿

CH8布洛赫電子理論把CH2Sommerfeld理論中的自由電子擴展到了非零的周期性勢場，表1中我們比較了這兩種理論的主要觀點。

為了討論輸運問題，我們把Sommerfeld理論擴展到非平衡的情況。粒子的動量為

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D%26%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7Bm%7D%2C%5C%5C%0A%5Chbar%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D%20-e%20(%5Ctextbf%7BE%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.1%7D$

如果需要從量子力學的角度來描述自由電子的行為，則可以通過自由電子波包的行為來描述。這種方法是對處于周期勢場中的電子的一種簡化。和自由電子一樣，在討論布洛赫電子導電的時候同樣出現(xiàn)了兩個問題：(a)碰撞的本質(zhì)是什么？(b)布洛赫電子如何在碰撞之間移動？Drude模型假設(shè)電子與固定的離子實發(fā)生碰撞，但是這個假設(shè)不能解釋為什么電子存在相當長的自由程，也不能解釋對溫度的依賴性。布洛赫的理論也沒有對此進行很好的解釋。在布洛赫理論中，電子的速度定義為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Bv%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.2%7D$

這里不再進行推導。從公式中可以看出速度永遠不會衰減，這將導致完美晶體的電阻為0。事實上，晶體中離子實在其平衡位置作熱振動，電子總會受到散射。并且，不存在完美的晶體，晶體中總會有一些缺陷對其傳輸造成阻礙。

布洛赫理論讓我們放棄電子-離子散射的猜想。我們將繼續(xù)從某種散射機制中提取后續(xù)的結(jié)果，不再考慮它的詳細特征。所以，我們面臨的主要問題是如何描述布洛赫電子在碰撞過程中的運動。這里我們考慮一個確定的布洛赫能級的波包，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cpsi_n(%5Ctextbf%7Br%7D%2Ct)%3D%5Csum_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%7Dg(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)%5Cpsi_%7Bn%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%7D(%5Ctextbf%7Br%7D)%7B%5Crm%20exp%7D%5B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DE_n(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)t%5D%2C%20g(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)%5Capprox%200%2C%7C%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime-%5Ctextbf%7Bk%7D%7C%3E%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.3%7D$

令傳遞的波矢 $%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%7D$ 小于布里淵區(qū)的長度，目的是讓能量 $E_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 變化的很小，得到較為穩(wěn)定的波包。對于公式(12.2)中的速度可以視為波包的群速度。當我們不需要在波包擴散的尺度上區(qū)分電子位置時，半經(jīng)典模型用波包來描述。

當波矢和布里淵區(qū)的尺寸比起來很小的時候，讓我們估計一下波包的寬度。令 $%5Ctextbf%7Br%7D%3D%5Ctextbf%7Br%7D_0%2B%5Ctextbf%7BR%7D$ ，對公式(12.3)使用布洛赫定理得，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cpsi_n(%5Ctextbf%7Br%7D_0%2B%5Ctextbf%7BR%7D%2Ct)%3D%5Csum_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%7D%5Bg(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)%5Cpsi_%7Bn%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%7D(%5Ctextbf%7Br%7D_0)%5D%7B%5Crm%20exp%7D%5Bi(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime%5Ccdot%20%5Ctextbf%7BR%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7DE_n(%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime)t)%5D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.4%7D$

對于固定的 $%5Ctextbf%7Br%7D_0$ ，公式(12.4)為 $%5Ctextbf%7BR%7D$ 的函數(shù)，并且為平面波的疊加態(tài)。所以，如果 $%5CDelta%20k$ 在一定波矢范圍內(nèi)是可觀測的，則說明這個波包對應的平面波的構(gòu)成成分比較多，所以在這個波矢范圍內(nèi)的空間中，所以實空間中的波包尺寸應該為 $%5CDelta%20R%3D1%2F%5CDelta%20k$ ，這里和測不準原理有關(guān)。并且由于 $%5CDelta%20k$ 在倒空間的尺度很小，所以 $%5CDelta%20R$ 和晶格常數(shù)a比起來一定非常大。所以我們得到結(jié)論：在倒空間尺度上定義的布洛赫波包擴展到實空間一定包含很多個原胞。

半經(jīng)典模型

半經(jīng)典模型基于給定的能帶結(jié)構(gòu)，而不關(guān)心如何計算能帶結(jié)構(gòu)。模型通過外場對能帶結(jié)構(gòu)的變化來推測輸運性質(zhì)，或者反過來通過外場對輸運性質(zhì)的變化來推測能帶結(jié)構(gòu)。每個電子具有確定的位置 $%5Ctextbf%7Br%7D$ 和確定的波矢 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 和能帶指標n。對于外部存在的電場以及磁場，位置、波矢和能帶指標遵從如下規(guī)則：

能帶指標是運動常數(shù)，電子總是呆在同一個能帶中，忽略帶間躍遷的可能性。
電子的速度和波矢滿足 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D%26%3D%5Ctextbf%7Bv%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5C%5C%0A%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D-e%5B%5Ctextbf%7BE%7D(%5Ctextbf%7Br%7D%2Ct)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D(%5Ctextbf%7Br%7D%2Ct)%5D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.5%7D$
這里電子的波矢只定義在倒格矢 $%5Ctextbf%7BK%7D$ 內(nèi)。不能存在兩個電子具有相同的能帶指標n和位置 $%5Ctextbf%7Br%7D$ ,波矢 $%5Ctextbf%7Bk%7D%2C%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime$ 僅相差倒格矢 $%5Ctextbf%7BK%7D$ 。也就是說在半經(jīng)典模型中波矢 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 和 $%5Ctextbf%7Bk%7D%2B%5Ctextbf%7BK%7D$ 的描述是等價的。

半經(jīng)典模型的一些說明以及局限性

多載流子理論

由于施加的外場被認為不會導致帶內(nèi)躍遷，我們可以認為一條帶包含具有固定數(shù)量的電子。靠近平衡位置，所有高于費米能級的帶不會被占據(jù)，所以我們不需要考慮無窮多個載流子，只需要考慮比費米能級低幾個 $k_BT$ 的帶就可以。也就是說我們只需要考慮很少一部分能帶就可以。

晶體動量不是真實的動量

從公式(12.5)可以看出每個帶內(nèi)運動方程和自由電子運動方程公式(12.1)相同，不過只是沒有出現(xiàn)自由電子能量 $%5Chbar%5E2%20k%5E2%2F2m$ 。不過，晶體動量 $%5Chbar%5Ctextbf%7Bk%7D$ 并不是布洛赫電子的動量，布洛赫波也不是動量的本征函數(shù)，這里CH8也強調(diào)過。電子動量的變化率由作用在電子上的所有力給出，但是晶體動量的變化率僅由公式(12.5)給出，其中力僅由外場施加，而不是由晶格的周期性勢場施加。

有效性限制

在周期性勢場為0的極限下，半經(jīng)典模型必然失敗，因為在這個極限下電子將為自由電子。在均勻電場中，自由電子可以通過靜電勢能不斷提升它的動能。然而，半經(jīng)典模型禁止帶內(nèi)躍遷，所以電子的能量需要小于某個數(shù)值。因此，周期勢必須存在某個最小強度。這樣的限制并不容易推導，但是存在一個簡單的形式，在這里我們不再證明而直接給出。對k空間中一個給定的點，只有當?shù)趎條帶所處的電磁場緩慢變換的振幅滿足

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AeEa%20%26%5Cll%20%5Cfrac%7B%5BE_%7Bgap%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5D%5E2%7D%7BE_F%7D%2C%5C%5C%0A%5Chbar%5Comega_c%26%5Cll%5Cfrac%7B%5BE_%7Bgap%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5D%5E2%7D%7BE_F%7D%20%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.6%7D$

時，電子的半經(jīng)典方程才有效。公式(12.6)中，a為晶格常數(shù)， $E_%7Bgap%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 為k空間中相同的點但是不同能帶的最近的能量差， $%5Comega_c$ 為角回旋頻率(見CH1)。對于金屬來說，公式(12.6上)從來沒有被違反過。對與絕緣體或者各向同性的半導體，體內(nèi)有可能建立內(nèi)建電場，導致帶間隧穿，這種現(xiàn)象稱為點擊穿或者齊納擊穿。外加磁場同樣可能導致帶間的隧穿，稱為磁擊穿。

運動方程的基礎(chǔ)

當存在靜電場的時候，如果電場滿足 $%5Ctextbf%7BE%7D%3D-%5Cnabla%20%5Cphi$ ，能量被改寫為 $%5Ctextbf%7BE%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D(t))-e%5Cphi(%5Ctextbf%7Br%7D(t))$ ，并且應為常數(shù)。能量隨時間的導數(shù)為

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_n%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D-e%5Cnabla%5Cphi%5Ccdot%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.7%7D$

根據(jù)公式(12.5上)，公式(12.7)可以寫為

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Bv%7D_n(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ccdot%20%5B%5Chbar%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D-e%5Cnabla%20%5Cphi%5D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.8%7D$

公式(12.8)滿足以下條件時為零，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Chbar%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%3De%5Cnabla%5Cphi%3D-e%5Ctextbf%7BE%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.9%7D$

這里回歸到公式(12.5下)磁場為零的情況。然而，公式(12.9)不是公式(12.8)收斂的必要條件，因為公式(12.8)中速度可以為零。

滿帶不導電

滿帶是指所有該能帶所有能量都在費米能級以下(更普遍的說是遠低于化學勢)。k空間中，電子在滿帶 $d%5Ctextbf%7Bk%7D$ 區(qū)域貢獻了 $d%5Ctextbf%7Bk%7D%2F4%5Cpi%5E3$ 個態(tài)(這里用到了求和化積分，并且考慮了自旋)。所以，電子在 $d%5Ctextbf%7Br%7D$ 區(qū)域?qū)嬖?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=d%5Ctextbf%7Br%7Dd%5Ctextbf%7Bk%7D%2F4%5Cpi%5E3" alt="d%5Ctextbf%7Br%7Dd%5Ctextbf%7Bk%7D%2F4%5Cpi%5E3">個態(tài)。因此，我們可以在這樣一個6維空間表示電子的態(tài)密度，這個空間也稱為rk空間(相空間)。

半經(jīng)典公式(12.5)表明無論電磁場和時間怎么改變，滿帶一直是滿帶。因為滿帶k態(tài)和-k態(tài)的電子對電流的貢獻可以恰好抵消。這也是半經(jīng)典下劉維爾定理的結(jié)論：

在給定六維相空間的任意區(qū)域 $%5COmega_t$ ，考慮點 $%5Ctextbf%7Br%7D%5E%5Cprime%2C%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime$ ，其中 $%5COmega_t$ 中每個點 $%5Ctextbf%7Br%7D%2C%5Ctextbf%7Bk%7D$ 由時間 $t%5Cto%20t%5E%5Cprime$ 之間的半經(jīng)典運動方程所取。這樣所有點 $%5Ctextbf%7Br%7D%5E%5Cprime%2C%5Ctextbf%7Bk%7D%5E%5Cprime$ 的集合構(gòu)成了一個新的區(qū)域 $%5COmega_%7Bt%5E%5Cprime%7D$ ，它的體積與 $%5COmega_t$ 相同。

空穴

半經(jīng)典模型的成就之一就是它解釋了自由電子理論只有在載流子帶正電荷時才能解釋的現(xiàn)象，例如某些金屬中霍爾系數(shù)符號異常。在理解能帶中的電子如何以帶正電的方式對電流做出貢獻時，有三個要點需要把握：

由于在體積元 $d%5Ctextbf%7Bk%7D$ 的電子對電流密度做出對貢獻是 $-e%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)d%5Ctextbf%7Bk%7D%2F4%5Cpi%5E3$ ，所以某一給定能帶內(nèi)所有電子對電流密度的貢獻為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Bj%7D%3D-e%5Cint_%7Boccupied%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7B4%5Cpi%5E3%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.10%7D$ 這里對能帶上所有占據(jù)的能級積分。這時我們可以利用滿帶不導電的事實寫出近滿帶對電流密度的貢獻， $%5Cbegin%7Balign%7D%0A0%3D%5Cint_%7Boccupied%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7B4%5Cpi%5E3%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%2B%5Cint_%7Bunoccupied%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7B4%5Cpi%5E3%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.11%7D$ 所以我們可以寫出近滿帶的電流密度可以等價表示為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7BJ%7D%3De%5Cint_%7Bunoccupied%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7B4%5Cpi%5E3%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.12%7D$ 這相當于將所有電子占據(jù)態(tài)看作空態(tài)，而將所有未占據(jù)態(tài)看作是被電荷為+e的粒子所占據(jù)。因此，盡管電荷僅被電子傳輸，但是可以引入一種假想的，帶正電荷e，填滿帶中所有電子未占據(jù)態(tài)的粒子，這種假想的粒子稱為空穴。所以近滿帶，帶中大量電子的行為可以簡化成少數(shù)空穴的效應，這樣做十分方便。為了完善空穴理論，我們還需要考慮加入外場以后未占據(jù)能級的變化。
帶中未被占據(jù)的能級在外場的作用下隨時間的變化應與它們被真實電子占據(jù)時相同。這是因為給定了t=0時波矢和位置信息，根據(jù)半經(jīng)典方程可以求出波矢和位置隨時間的變化。
所以我們可以根據(jù)電子隨外場的響應來研究空穴隨外場的響應。根據(jù)半經(jīng)典模型方程，電子的運動滿足 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%3D-e(%5Ctextbf%7BE%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.13%7D$ 電子的軌道是否與自由電子的軌道類似取決于加速度是否平行于 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 。若加速度方向與 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 相反，電子的反應將更像帶正電荷的自由粒子。碰巧的是，當 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 為空能級的波矢時， $d%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%2Fdt$ 的方向和 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 相反。

在平衡態(tài)或者不明偏離平衡態(tài)時，未占據(jù)的能級通?？拷鼛ы敗Ｈ裟軒芰?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=E(%5Ctextbf%7Bk%7D)" alt="E(%5Ctextbf%7Bk%7D)">在 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 處于最大值，并且若 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 在 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 附近，我們可以對 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 作展開， $%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 中的線性項在最大值處消失，因為 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 處能量的一階導數(shù)為0。如果我們假設(shè) $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 是一個具有高對稱性的點，那么二次項將與 $(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7Bk%7D_0)%5E2$ 成比例。所以 $%5Cbegin%7Balign%7D%0AE(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Capprox%20E(%5Ctextbf%7Bk%7D_0)-A(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7Bk%7D_0)%5E2%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.14%7D$

這里A為正。通常用以下方法定義有效質(zhì)量 $m%5E%5Cstar$

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%5E%5Cstar%7D%3DA%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.15%7D$

對于靠近 $%5Ctextbf%7Bk%7D_0$ 的波矢，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Capprox%20-%5Cfrac%7B%5Chbar%20(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7Bk%7D_0)%7D%7Bm%5E%5Cstar%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.16%7D$

因此有

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D-%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7Bm%5E%5Cstar%7D%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.17%7D$

從這里可以看出加速度方向和 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 相反。

將加速度和波矢的關(guān)系(12.17)代入到公式(12.13)，我們發(fā)現(xiàn)只要電子的軌道被限制在帶頂，電子對外場的響應就像它有一個負質(zhì)量 $-m%5E%5Cstar$ 。通過簡單改變兩邊的符號，我們可以將公式(12.13)視為描述了具有質(zhì)量為 $m%5E%5Cstar$ 的正電粒子的運動。由于空穴對外場的響應和電子處于未占據(jù)能級時相同，這就完成了空穴在各方面都像普通正電荷粒子的證明。

標簽：材料固體物理凝聚態(tài)物理學習筆記

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