視頻 BV1c34y1a7D3 定理 證明
定理1.
設(shè)
BC邊上的高為h
有
AB·ADsin∠BAD=BD·h
AC·ADsin∠BAD=CD·h
即
AB/AC=BD/CD
即
AB·CD=AC·BD
得證
定理2.
據(jù)
AD為角分線
有
AB/AC=BD/CD
即
CD·AB
=BD·AC
即
（BD+CD）·CD·AB
=（BD+CD）BD·AC
即
CD2AB+BD·CD·AB
=BD2AC+BD·CD·AC
即
－BD·DC·AC+BD·DC·AB
=-CD2AB+BD2AC
即
AB·AC2－AB2·AC－
BD·DC·AC+BD·DC·AB
=AB·AC2－AB2AC
－CD2AB+BD2AC
即
AB·AC2－AB2AC
－CD2AB+BD2AC
=（AB·AC-BD·DC）（AC－AB）
即
AB·AC-BD·DC
=（AB·AC2－CD2AB+BD2AC－AB2AC）
/（AC－AB）
據(jù)
AD為角分線
有
（AB2+AD2-BD2）/（2AB·AD）
=（AC2+AD2-CD2）/（2AC·AD）
即
（AB2+AD2-BD2）/AB
=（AC2+AD2-CD2）/AC
即
AB2AC+AD2AC-BD2AC
=AC2AB+AD2AB-CD2AB
即
AD2
=（AC2AB-CD2AB+BD2AC－AB2AC）
/（AC－AB）
綜
AD2=AB·AC-BD·DC
得證
定理3.
有
ADsin∠BAD(AB+AC)=AB·ACsin(2∠BAD）
即
AD(AB+AC)=2AB·ACcos∠BAD
即
(AB+AC)/(AB·AC）=2cos∠BAD/AD
即
1/AB+1/AC=2cos∠BAD/AD
得證
ps.
定理2.
證明
抑或
設(shè)
AD與△ABC外接圓交于H
有
AD·HD=BD·CD
且
△ACD∽△AHB
即
AC/AH=AD/AB
即
AC·AB=AD(AD+DH)=AD2+AD·DH
即
AB·AC-BD·CD=AD2+AD·DH-BD·CD=AD2
得證
