PART 1 準(zhǔn)備工作

方法是解決三元對(duì)稱不等式的“通法”，是通過(guò)換元來(lái)簡(jiǎn)化命題的手段。

對(duì)于僅有三個(gè)變量，且關(guān)于輪換對(duì)稱的不等式，可以作以下?lián)Q元：

之后使用僅有的不等式對(duì)原命題進(jìn)行放縮，目標(biāo)是盡量使得不出現(xiàn)在大于的一端，或者直接消去。

字母使用是有其道理的，分別為和、二次輪換和、積的縮寫。當(dāng)然，大多數(shù)人使用換元，這并未有不同之處。

先給出下面將會(huì)用到的不等式：

?（三次不等式）

?（四次不等式）

下面所有運(yùn)用到的恒等式都可以在我的這篇文章中找到（定理四~定理九）：

在ab+bc+ca=1條件下的一些恒等式

PART 2 實(shí)踐

例一：非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，求證：

此題是在某代數(shù)不等式上看到的，米爾赫德不等式確實(shí)是“好方法”，我們還是使用換元來(lái)解決此題。

證明：原不等式

由，知上式（定理四）

（定理六）

記，

則

于是，原命題

可以觀察到這個(gè)式子僅有兩個(gè)變量，顯然將通過(guò)放縮轉(zhuǎn)化成為最優(yōu)的選擇

我們選擇為數(shù)不多出現(xiàn)在大于的一邊的不等式——三次不等式進(jìn)行放縮

由三次不等式：?，變形可得：

那么，我們可以得到：

我們不妨畫出此函數(shù)的圖像：

注意是有取值范圍的，由非負(fù)且，知

那么，在時(shí)，是恒成立的，我們用導(dǎo)數(shù)的工具證明之：

記，則，

這是一個(gè)開口向下，的二次函數(shù)，

故而恒成立，即在上單調(diào)遞減，

故時(shí)，，原不等式得到了證明。

但我們?nèi)晕醋C明時(shí)原不等式成立。

其實(shí)，這個(gè)范圍內(nèi)的原不等式更加容易證明，

記，則，

當(dāng)時(shí)，，從而，

于是當(dāng)時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

綜上，原不等式得證！

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