今天的內(nèi)容原計劃是講完Stolz公式的最后一道比較復(fù)雜的計算題，不過因為Ep47里，有讀者留言說仿佛有一處紕漏（畫藍線那一步），所以我們就不妨先聊聊這個問題——

乍一看，仿佛確實很荒謬！——我們逐步分析——

1. a>1；

2. 0<1/a<1,；

3. 0<1-1/a<1；

4. 那么，應(yīng)當(dāng)有l(wèi)im（a^n）lim（1-1/a）=（1-1/a）lim（a^n）<lim（a^n）才對！

   ——怎么可能取等于呢？！

這么詭異，只有一種解釋了吧？！就是老碧是傻子?。?！

——雖然，老碧確實是傻子，但是這里，老碧想說，是扎扎實實的該取等于！

為什么呢？這就要涉及到一個非常有趣也很重要的問題——無窮大的屬性。

我們發(fā)現(xiàn)，易證等式左邊（1-1/a）lim（a^n）=+∞，右邊lim（a^n）=+∞，+∞=+∞仿佛無可厚非，但是感覺上應(yīng)該還是（1-1/a）lim（a^n）<lim（a^n）比較對?。?！

所以究竟哪里出了問題？！

首先我們做一個簡單的置換來考慮一下，這種感覺的成因，我們構(gòu)造數(shù)列{bn}，bn=（1-1/a）（a^n），所以顯然對于任意n，都有bn=（1-1/a）（a^n）<（a^n）才對，那么對于數(shù)列{bn}來說，它的每一項都比數(shù)列{a^n}要小，那么怎么極限值就相等了呢？——

這就涉及到數(shù)列極限的一個很重要的本質(zhì)了，數(shù)列是一個過程，是一個變量，但是數(shù)列極限則不是，它是一個確定的值，是數(shù)列最終的趨勢，你可以達到，你也可以達不到，它是這個數(shù)列的終點，而與這個數(shù)列是什么，這個數(shù)列以怎樣的速度變化無關(guān)——

比如說，數(shù)列{1/n}和{0}，對于任意n都有1/n>0成立，但是怎么就lim（1/n）=0=lim（0）成立了呢？

1. 因為無論我們找到怎樣正數(shù)P，都存在自然數(shù)j，k，使得j/k<=P<（j+1）/k，都會有P>1/k+1>0，所以在這個數(shù)列數(shù)值中總能找到一個比這個給定值P小的出現(xiàn)，于是任何的正數(shù)都不可能是數(shù)列{1/n}的極限，所以lim （1/n）<=0；

2. 又因為對于任意的負(fù)數(shù)M，1/n>0>M，所以lim（1/n）>=0；

3. 綜合1、2，lim（1/n）=0 。

而對于無窮大是不是具有類似的情況我們不清楚，不妨將其轉(zhuǎn)化為無窮小分析——

1. 我們構(gòu)造數(shù)列{cn}和{dn}，其中cn=1/a^n，dn=1/bn=1/[（1-1/a）（a^n）]；

2. 其中l(wèi)im?cn=lim（1/a^n）=0，lim?dn=lim（1/bn）=lim{1/[（1-1/a）（a^n）]}=0；

3. 顯然lim??cn=lim dn=0 ；

4. 自然可以推得（1-1/a）lim（a^n）=lim（a^n）=+∞。

實際上，原因很簡單，因為無窮小的倒數(shù)是無窮大，那么，既然可以承認(rèn)兩個不相等的數(shù)列極限為0時相等，自然也就可以承認(rèn)兩個不相等的數(shù)列極限為+∞時相等。

當(dāng)然，老碧的這一步是沒必要寫的一步推理，確實是筆誤造成的。

正常的做題只需要（1-1/a）lim（a^n）=+∞即可，由無窮大的定義顯然可得，沒必要畫蛇添足。

我們聊一下最后比較復(fù)雜的Stolz公式最后一題——

33Stolz公式

最后一題用到了14題的結(jié)論，我們復(fù)習(xí)一下——

14.求數(shù)列極限lim（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1），k是自然數(shù)——

lim?（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）=lim（xn/yn）=lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=1/（k+1）；——Ep47有詳細(xì)過程。

15.求數(shù)列極限lim n[（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）-1/（k+1）]，k是自然數(shù)——

由14題可知，數(shù)列{n[（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）-1/（k+1）]}是0*∞型“不定式”，我們轉(zhuǎn)化為∞/∞型，而后用Stolz公式——

1. 通分——n[（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）-1/（k+1）]=（1^k+2^k+……+n^k）/n^k-n/（k+1）=[（k+1）（1^k+2^k+……+n^k）-n^（k+1）]/（k+1）n^k；

2. 令xn=（k+1）（1^k+2^k+……+n^k）-n^（k+1），yn=（k+1）n^k；

3. xn-xn-1=[（k+1）（1^k+2^k+……+n^k）-n^（k+1）]-[（k+1）（1^k+2^k+……+（n-1）^k）-（n-1）^（k+1）]=（k+1）n^k-n^（k+1）+（n-1）^（k+1）；

4. 牛頓二項式展開：（n-1）^（k+1）=n^（k+1）-（k+1）n^k+[k（k+1）/2]n^（k-1）+[k（k+1）（k-1）/6]n^（k-2）+……+（-1）^（k+1）；

5. 由3、4：xn-xn-1=[k（k+1）/2]n^（k-1）+[k（k+1）（k-1）/6]n^（k-2）+……+（-1）^（k+1）；

6. yn-yn-1=（k+1）n^k-（k+1）（n-1）^k=（k+1）[n^k-（n-1）^k]=（k+1）[n^（k-1）+……+（n-1）^（k-2）*n+（n-1）^（k-1）]；

7. 求出lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=lim{[k（k+1）/2]n^（k-1）+[k（k+1）（k-1）/6]n^（k-2）+……+（-1）^（k+1）}/{（k+1）[n^（k-1）+……+（n-1）^（k-2）*n+（n-1）^（k-1）]}=lim?{k（k+1）/2+[k（k+1）（k-1）/6]（1/n）+……+（-1/n）^（k-1）}/{（k+1）[1+……+（1-1/n）^（k-2）+（1-1/n）^（k-1）]}=[k（k+1）/2]/[k（k+1）]=1/2；——先分子分母都除以n^（k-1），再將所有含有1/n的項都舍去即可；

8. 所以lim?{n[（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）-1/（k+1）]}=lim（xn/yn）=lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=1/2。

所有的難度都在計算上，不難，但是挺麻煩的~明天繼續(xù)！