【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。?

第一章有理數(shù)

§1-7有理數(shù)大小的比較

【01】在算術(shù)里，我們已經(jīng)知道數(shù)可以比較大小。現(xiàn)在我們把數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，是不是所有的有理數(shù)也都能夠比較大小呢？

【02】我們不妨仍舊從溫度計(jì)上來研究。零上 5° 與零下 5° 是不是相等的溫度呢？如果不相等，那末哪一個(gè)溫度高呢？零上 5° 與零下 6° 哪一個(gè)溫度高呢？零下 2° 與零下 1° 哪一個(gè)溫度高呢？零度與零下 1° 哪一個(gè)溫度高呢？從溫度計(jì)上可以看出：零上 5° 與零下 5° 的溫度是不相等的，零上 5° 高于零下 5°，零上 5° 也高于零下 6°，零下 2° 則低于零下 1°，零度也高于零下 1°? 。

【03】如果把零上的度數(shù)用正數(shù)來表示，零下的度數(shù)用負(fù)數(shù)來表示，那末上面的結(jié)果就是：＋5° ＞－5°，＋5° ＞－6°，－2° ＜－1°，0°?＞ー1°? 。

【04】同樣，我們也可以從它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置來確定有理數(shù)的大?。?/p>

【05】有理數(shù)大小的規(guī)定：在水平數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，如果把向右方向作為正方向，那末，在右邊的一個(gè)數(shù)總比在左邊的一個(gè)數(shù)大。

【06】例如：＋5 ＞－5；＋5 ＞－6，－2 ＜－1；0?＞－1? 。

【07】從數(shù)軸上的左右關(guān)系，我們又可以清楚地看出：

【08】有理數(shù)大小的比較法則：

(ⅰ)任何正數(shù)，大于任何負(fù)數(shù)；

(ⅱ)任何正數(shù)，大于零；

(ⅲ)任何負(fù)數(shù)，小于零；

(ⅳ)兩個(gè)正數(shù)中，絕對值大的那個(gè)數(shù)較大；

(ⅴ)兩個(gè)負(fù)數(shù)中，絕對值大的那個(gè)數(shù)較小。

山箋||? 高等數(shù)學(xué)中『有理數(shù)域的序』的性質(zhì)

? ? ? ? 要比較有理數(shù)大小，先要搞明白“有理數(shù)域的序”的前因。有理數(shù)域的序得自“大于”的概念，必須先有大于的概念，我們才可以定義“小于”【小于——當(dāng)且僅當(dāng)b＞a時(shí)，a＜b。】，繼而才可以歸納出有理數(shù)序的性質(zhì)：（此處“大于”的概念與性質(zhì)Ⅰ屬于公理，不證自明）????

????????Ⅰ?：每一對有理數(shù)a與b之間必有且僅有下列關(guān)系之一：a＝b，a＞b，a＜b；

????????Ⅰ?（傳遞性）：若a＞b，b＞c，則a＞c；

????????Ⅰ?（稠密性）：若a＞b，則必存在有理數(shù)c，使a＞c且c＞b? 。（即必有有理數(shù)c位于a、b之間，顯然必有有理數(shù)c?位于a、c之間，必有有理數(shù)c?位于a、c?之間……故a、b之間的有理數(shù)有無數(shù)個(gè)，所以稱為稠密性）

【求證】小于也具有傳遞性，即若已知 a＜b，b＜c，則a＜c? 。

【證明】由“小于”的定義【當(dāng)且僅當(dāng)b＞a時(shí)，a＜b】可知?：

????????a＜b，b＜c即c＞b，b＞a

????????又因?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-purple-03">Ⅰ?可知c＞a

????????再根據(jù)“小于”的定義可得a＜c，此題得證。

例1.比較 3.56 與－8.39?的大小。

【解】3.56 是正數(shù)，－8.39 是負(fù)數(shù)，∵ 任何正數(shù)大于任何負(fù)數(shù)，∴ 3.56＞－8.39（也可以寫做－8.39＜3.56）

【注】記號“∵”讀做“因?yàn)椤?，“∴”讀做“所以”。

例2.比較 0 與－7.8 的大小。

【解】因?yàn)槿魏呜?fù)數(shù)小于零，∴ －7.8＜0（也可以寫做 0＞－7.8）

例3.比較－3.56 與－4.07 的大小。

【分析】－3.56 與－4.07 都是負(fù)數(shù)，先看它們的絕對值。

【解】|－3.56 |＝3.56，|－4.07 |＝4.07，∵ 4.07＞3.56，也就是 |－4.07 |＞|－3.56?|。根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的比較法，絕對值大的負(fù)數(shù)較小，∴－4.07＜－3.56? 。

例4.比較? 與 的大小。

【解】，∵?＜?；∴?＞? 。

例5.比較下列三個(gè)數(shù)的大?。海?，－5，－1? 。

【解】在這三個(gè)數(shù)中，＋3 最大，－1 又比－5 大，∴ ＋3＞－1＞－5? 。

【注意】三個(gè)數(shù)同時(shí)比較大小時(shí)，書寫的次序必須使兩個(gè)不等號都是“大于號”或者都是“小于號”。所以這一題也可以寫做－5＜－1＜＋3? 。但下列寫法是錯(cuò)誤的：－5＜3＞－1，因?yàn)檫@樣就看不出－5 與－1 之間的大小了。

習(xí)題1-7

1、寫出四個(gè)大于 0 的整數(shù)；寫出四個(gè)小于 0 的整數(shù)。

2、寫出所有小于 7 的正整數(shù)；寫出所有大于－5 的負(fù)整數(shù)。

3、寫出所有大于 －3 而小于＋4 的整數(shù)，并在數(shù)軸上把它們表示出來。這些數(shù)里面，有幾對相反的數(shù)？

4、比較下列各組數(shù)的大小，用關(guān)系符號“＜”連接起來：

【解法舉例：(1) 7＜10】

5、比較下列各組數(shù)的大小，用關(guān)系符號“＞”連接起來：

6、比較下列各組數(shù)的大小：

(1) 0，，（用關(guān)系符號＜連接起來）；

(2)?，，（用關(guān)系符號＞連接起來）。

7、比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大?。?br>

(1)＋5，|－6 |；(2) |＋5 |，|－7 |；(3) |－7?|，|－2 |；

(4)－|＋5 |，－|－7?|；(5)－(－6)，－|－6?|? 。

8、寫出絕對值大于 4 的三個(gè)正數(shù)和三個(gè)負(fù)數(shù)；寫出絕對值小于 3 的三個(gè)正數(shù)和三個(gè)負(fù)數(shù)。

9、寫出絕對值等于 2 的一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)。

10、在數(shù)軸上指出絕對值等于 5 的數(shù)，這樣的數(shù)有幾個(gè)？

11、寫出絕對值小于?4 的所有整數(shù)，這樣的數(shù)里有幾組是相反的數(shù)？

12、寫出絕對值大于 4 而小于 8 的所有整數(shù)。