經典吹學教材——黃前數(shù)學課本（一年級）

第二講 從京都宇治七橋問題談起

故事發(fā)生在21世紀的京都府宇治市。流經那里的一條河中有兩個小島，還有七座橋把這兩個小島與河岸聯(lián)系起來，那里風景優(yōu)美，游人眾多。在這個美麗的地方，人們議論著一個有趣的問題：一個游人怎樣才能不重復地一次走遍七座橋，最后又回到出發(fā)點呢？

對于這個貌似簡單的問題，許多人躍躍欲試，但都沒有獲得成功。直到2015年，日本著名的數(shù)學家黃前才證明了這個問題的不可能性。

黃前解決這個問題的方法非常巧妙。她認為：人們關心的只是一次不重復地走遍這幾座橋，而并不關心橋的長短和島的大小。因此，島和岸都可以看作一個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線。這樣，一個實際問題就轉化為一個幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問題了。

所謂一筆畫問題，就是從圖上一點出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次。為了敘述方便，我們把與奇數(shù)條邊相連的結點稱為奇點，把與偶數(shù)條邊相連的結點稱為偶點。

黃前發(fā)現(xiàn)，假設一個圖可以一筆畫出，則對于并非起點或終點的中間結點X，無論何時通過一條邊到達X，由于不能重復，必須從另一條邊離開X。這樣與X連接的邊一定成對出現(xiàn)，所以X必為偶點。更進一步地，假如一個圖能一筆畫出并回到原點，則它的每個結點所連接的邊都必須成對出現(xiàn)，即每個點都是偶點。

在七橋問題中存在兩個奇點，因此黃前斷言，這個圖雖然可以一筆畫出，但無法回到原點。也就是說，一個游人沒法不重復地走遍宇治川沿岸的七座橋并回到起點。更進一步地，黃前在解決七橋問題的同時徹底地解決了一筆畫的問題，給出了下面的

黃前定理：

1.凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可由任意偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

2.凡是只有兩個奇點的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時必須以一個奇點為起點，另一個奇點為終點。

3.其他情況的圖都不能一筆畫成。

下面我們就來研究黃前定理的具體應用：

例1：一個吹吹人到宇治圣地巡禮。對于他列出的幾種打卡計劃，請說明他能否不走回頭路地走遍所有打卡點。如果能，請說明能否回到出發(fā)地。

（1）京阪宇治站、平等院、十三重石塔（位于塔之島）、宇治神社；

（2）盡可能地走遍宇治七橋，但由于時間原因將較遠的白虹橋排除在外；

例2：隨著時間的推進，久美子的CP也不斷發(fā)生著變化。有吹學家用“十年河東，十年河西”來概括這一現(xiàn)象。河東是麗奈的主場，不論是家庭住址還是大吉山都位于宇治川東岸，朝霧橋東頭的宇治神社更是與久美子日常見面的地方。河西則是秀一的主場。不但他與久美子家的公寓在宇治川西岸，喜撰橋更是他牽手表白的地方。

（1）你是否同意上述看法？請說明理由。如果不同意，請舉出動畫中秀久在宇治川東岸活動、高黃在宇治川西岸活動的反例。

（2）假如你是高黃黨，并且了解到麗奈與久美子十指相扣看煙花的位置就在喜撰橋西側橋頭。你的圣地巡禮計劃中包含了這個地點，但是不打算從喜撰橋上經過。你能否順利完成巡禮，同時不重復地走遍宇治川剩余六橋呢？

（3）因被落雷擊中【注1】，宇治川沿岸的朝霧橋封閉檢修。請使用黃前定理回答：一個吹吹人能否在此情況下不走回頭路地打卡剩余六橋呢？

注1：劇場版動畫《HELLO WORLD》劇情

參考資料：

[1]仁華學校奧林匹克數(shù)學課本（小學三年級下冊）

[2]宇治市觀光協(xié)會官網

[3]Windows地圖