1、約束與廣義坐標(biāo)

由運(yùn)動學(xué)分析就能確定的對物體各部分相對位移和相對速度的限制稱為約束，其中對物體相對位移的限制被稱為幾何約束；對物體相對速度的限制稱為運(yùn)動約束，由約束規(guī)定的方程稱為約束方程。

（1）柔性約束和剛性約束

柔性約束的特征是不能伸長，繩在結(jié)構(gòu)中只能提供拉力不能提供支持力。也就是說，繩的受力只能沿繩且背離繩。

柔性約束中由于兩物體的距離不能伸長，因此有不等式

如果A,B間的距離保持不變，則A,B間的約束稱為剛性約束。剛性約束的特點(diǎn)是兩點(diǎn)間距離不變，滿足等式

若AB是剛性桿，則AB之間滿足剛性約束方程。剛性桿可以同時提供支持力和拉力，且剛性桿的受力可不沿桿。二力桿的受力一定沿桿且彼此等大反向，只受三個力作用的桿延長線交于一點(diǎn)。

（2）線面約束

對于n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，如果在取定的坐標(biāo)系中第i個質(zhì)點(diǎn)的矢徑為,速度為vi，則約束方程的一般形式為

我們將約束方程中顯含時間t的約束稱為非穩(wěn)定約束；不顯含時間的稱為穩(wěn)定約束，穩(wěn)定約束的一般形式方程為

幾何約束是只對質(zhì)點(diǎn)的幾何分布的約束，因此不顯含速度，幾何約束方程的一般形式為

此外，帶不等號的方程表示約束時單向的，稱為單面約束；帶等號的方程表示約束是雙向的，稱為雙面約束。

我們把幾何約束和可積分成幾何約束的運(yùn)動約束合在一起稱為完整約束，不能積分的稱為非完整約束。

（3）自由度和廣義坐標(biāo)

為了確定由N個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)在空間的位置，需要給定N個矢徑，即給定3N個坐標(biāo)。通常，唯一地確定系統(tǒng)位置所需獨(dú)立變量地個數(shù)稱為系統(tǒng)地自由度，N個質(zhì)點(diǎn)組成地系統(tǒng)的自由度為3N，這些獨(dú)立的變量可以不是笛卡爾坐標(biāo)，也可以是角度、距離等。

對于s個自由度的系統(tǒng)，可以完全刻畫其位置的s個變量，稱為該系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，其導(dǎo)數(shù)稱為廣義速度。從而有廣義勢能和廣義動能，以及廣義動量，我們將在后面給出詳細(xì)解釋。

2、變分與拉格朗日方程

（1）泛函

定理1（實(shí)Hahn-Banach定理）設(shè)X是實(shí)線性空間，p是定義在X上的次線性泛函，X_0是X的實(shí)線性子空間，f_0是X_0上的實(shí)線性泛函并且滿足，那么X上必有一個實(shí)線性泛函f，滿足：

哈恩巴拿赫定理保證了在給定邊界條件下泛函存在的合理性（我也不會證這個定理，看看得了）

下面我們開始討論變分運(yùn)算

（2）變分運(yùn)算

變分可以看作函數(shù)微分的推廣，記作

這里y(x)是關(guān)于x的任意函數(shù)，稱為宗量。J[y(x)]是由y確定的泛函，δJ是對泛函J[y(x)]的變分。變分運(yùn)算滿足如下規(guī)律：

只要是能夠通過某種操作把一個對象（通常是向量或矩陣）變成數(shù)值，都能夠被記作泛函，常見的取范數(shù)，賦值都可以稱為泛函。變分是很有用的運(yùn)算，可以用來解PDE以及推導(dǎo)有限元的公式，這里最重要的是是求解泛函的極值問題。

（3）歐拉拉格朗日方程

定理2（泛函取極值的必要條件）J[y(x)]在y_0處取極值的必要條件是泛函的一階變分為0，即:

這個定理太重要了我們還是證一下。

證明：

這里α是小量，η是關(guān)于x的任意函數(shù)。J在α=0時取到極值，把J看作α為自變量的函數(shù)，則

,

而

因此定理得證。我們下面從這個定理出發(fā)推導(dǎo)歐拉-拉格朗日方程。

定理3（歐拉-拉格朗日方程）泛函取極值的條件是：

這個方程稱為歐拉-拉格朗日方程。

證明：

由于積分區(qū)間為正，被積函數(shù)恒為0，由此得到歐拉拉格朗日方程。

3、達(dá)朗貝爾原理

（1）虛位移：某固定時刻，體系位形發(fā)生的假想的微小變化，滿足：

????i)瞬時發(fā)生

????ii)滿足約束條件

????iii)假想擾動

則稱為虛位移，記作δr，且某質(zhì)點(diǎn)在某時刻的實(shí)位移是虛位移中的一個。

????（2）虛功：力在虛位移下做的假想功，F(xiàn)為主動力，R為約束力

理想約束：約束力的虛功為0，即

從而

虛功原理：主動力的虛功為0時，質(zhì)點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，即

下面我們從虛功原理出發(fā)推導(dǎo)拉格朗日力學(xué)。

4、拉格朗日力學(xué)

廣義速度和實(shí)際速度有如下關(guān)系：

兩端對求偏導(dǎo)，由于僅是和的函數(shù)，由此得到

由動力學(xué)達(dá)朗貝爾原理

定義為廣義力，

令,，而在保守體系下，,從而

若,即V與廣義坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)無關(guān)，那么

再令，這里稱為拉格朗日量，是一個標(biāo)量，于是得到拉格朗日方程（也叫第二類拉格朗日方程）

由此我們得到了拉格朗日力學(xué)的基本方程，這個方程和牛頓第二定律是等價的，如果你有閑心可以直接從牛頓第二定律一直推導(dǎo)出拉格朗日方程。下面看一個簡單的應(yīng)用。

例：一維彈簧振子，忽略摩擦和彈簧自重，小車質(zhì)量為M，求運(yùn)動方程

令,坐標(biāo)只有一個x，所以列出拉格朗日方程

解得

由此可見，由拉格朗日方程得到的運(yùn)動方程和牛頓力學(xué)一樣是一個二階常微分方程。相較于牛頓力學(xué)，拉格朗日力學(xué)的優(yōu)越性在于把矢量運(yùn)算統(tǒng)一成標(biāo)量運(yùn)算，并且在多約束體系下僅用較少的自由度就能解出系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律。

5、參考文獻(xiàn)

[1]?П.Д.朗道?/?Е.М.栗弗席茲.力學(xué)[M].李俊峰，鞠國興，譯。北京.高等教育出版社.2007