平面層流邊界層方程的近似解

2022-12-04 07:35 作者:Schlichting 0人讀過 | 我要投稿

最近群里有很多人在問關(guān)于考研中的卡門-普爾豪森(Kármán–Pohlhausen Approximation)多項(xiàng)式，由于《流體力學(xué)》我準(zhǔn)備放在《場論》完結(jié)后詳細(xì)講解，因此對于這個(gè)問題寫一篇專欄以供參考。

本文中的內(nèi)容參考：普朗特(Ludwig Prandtl)與施里希廷(Hermann Schlichting）的著作《流體力學(xué)概論》第四章。

一、層流邊界層理論

1.什么是邊界層

在納維-斯托克斯方程中可以看到，大雷諾數(shù)對應(yīng)于小粘性效應(yīng)，同時(shí)也更近似于理想無粘性流場。但是，類似于等效原理因?yàn)槌毕Φ拇嬖跓o法完全讓引力場整體等效于一個(gè)非慣性系一樣，粘性流場由于粘性的客觀存在也無法完全化為無粘性流場。

對于真實(shí)的粘性層流流場，容易說明，在大雷諾數(shù)情況下，流場近似于無粘性的狀態(tài)，只是在靠近物體表面，由于粘性作用會(huì)導(dǎo)致速度在橫向發(fā)生變化。（這里縱向指流場運(yùn)動(dòng)方向，橫向指垂直于運(yùn)動(dòng)方向）

考慮一個(gè)無限大平板的層流流場，則由上文所述，靠近平板的流場會(huì)在粘性作用下減緩流速，相對與其他的流場形成一個(gè)薄層。而這個(gè)薄層就是所謂的邊界層，在邊界層內(nèi)的流場其速度刨面不是垂直的。為了下文中的論述，這里統(tǒng)一的將邊界層外的流場稱為“外流場”，簡稱“外流”，它在橫向上無速度變化。由前文可知，外流是無粘性流場，或稱為位流場。類比到引力場中就是所謂的遠(yuǎn)場，其中度規(guī)趨向于伽利略度規(guī)。

邊界層示意圖

如圖，這里外流的速度為u0,為了之后的表述方便，下文中外流速度全部記為U，它是坐標(biāo)的函數(shù)。層流邊界層內(nèi)的縱向流場速度記為u，邊界層厚度記為δ。

2.平面層流邊界層估值

這里，我們從量級出發(fā)，來簡單的估算一下層流邊界層的厚度。這里關(guān)于量級的一些概念可以參考我的《電磁場分析》系列。為了簡化計(jì)算，這里只考慮平面流場，如上圖，設(shè)外流場沿x軸流動(dòng)，其速度為U，邊界層內(nèi)縱向速度為u。記平板所處在的位置為y=0。同時(shí)，單位體積的摩擦力記為τ，則根據(jù)流體力學(xué)一般理論， $%5Ctau%5Cpropto%20%5Cmu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D$ 。

設(shè)流場的縱向方向距離量級為l，邊界層在距離l末尾處的厚度量級為δ，則單位體積上摩擦力的量級為 $%5Cmu%5Cfrac%7BU%7D%7B%5Cdelta%20%5E2%7D%20$ ，而單位體積上的慣性力量級為 $%5Crho%20a%5Cpropto%20%5Crho%20U%5E2%2Fl%0A$ 。對應(yīng)于雷諾數(shù)，這兩個(gè)力的量級應(yīng)該相等，所以 $%5Cmu%5Cfrac%7BU%7D%7B%5Cdelta%20%5E2%7D%20%5Cpropto%20%5Crho%20%5Cfrac%7BU%5E2%7D%7Bl%7D%20%0A$ ，可得 $%5Cdelta%20%5Cpropto%20%5Csqrt%7B%5Cmu%20l%2F%5Crho%20U%7D%E6%88%96%E8%80%85%20%5Cdelta%20%5Cpropto%20%5Csqrt%7B%5Cnu%20l%2F%20U%7D%20%0A%0A%0A$ ，其中 $%5Cnu$ 是運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。當(dāng)然，從動(dòng)量的量級出發(fā)一樣能得到類似的表達(dá)式。可以看出，邊界層確實(shí)很薄。

相對應(yīng)的，若把量級l看成特性長度，則可以給出相應(yīng)的雷諾數(shù) $Re_l%3DUl%2F%5Cnu$ ，因此在層流邊界層中邊界層厚度和雷諾數(shù)有關(guān)系 $%5Cdelta%2Fl%5Cpropto%20%0A1%2F%5Csqrt%7BRe_l%7D%20%0A%0A$ ?。若這里把l替換成具體的距離x，相應(yīng)的當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)改為 $Re_x%3DUx%2F%5Cnu$ ，則我們有邊界層的增長量級 $%5Cdelta(x)%5Cpropto%20%0A%5Csqrt%7B%5Cnu%20x%2F%20U%7D%20%0A%0A$ ?，與當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)關(guān)系為 $%5Cdelta%2Fx%5Cpropto%201%2F%5Csqrt%7BRe_x%7D%20%0A%0A$ ?。

3.普朗特邊界層理論

在之前的內(nèi)容中，我們一直都是在定性的分析問題，并沒有給出定量的理論。為了定量化，我們還需要回到流體力學(xué)基本方程組: Navier - Stokes方程組，來看看能否對這個(gè)冤大頭化簡使得解起來方便一點(diǎn)。

首先，還是回顧一下邊界層的特征：橫向很薄，而且外面是無粘性流場。同時(shí)根據(jù)流體力學(xué)一般理論，在物體表面，流場速度嚴(yán)格為0，既速度的橫向、縱向分量均為0。而這些特征就意味著一件事：在一個(gè)橫向距離非常小的區(qū)域內(nèi)，流場的縱向速度要從零快速的變化到外流速度。這就導(dǎo)致在邊界層中，縱向速度分量 $u$ 在橫向上的增量尤為可觀，而橫向速度分量就有點(diǎn)類似于微擾動(dòng)的存在了。同時(shí)，薄層也意味著在邊界層內(nèi)橫向上的壓力變化可以忽略不計(jì)。

這里，我們記縱向速度分量為u，橫向速度分量為v，壓力為p。在邊界層中，由上面的結(jié)論可知，v相對于u，即y向的方程可以忽略，同時(shí)在粘性力項(xiàng)μΔu中和慣性力 $(%5Cvec%7Bu%7D%20%5Cbullet%20%5Cnabla)u$ 處在同一量級的只有前文提到過的 $%5Cmu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D$ 。同時(shí)，壓力p也可近似看作是x和時(shí)間t的函數(shù)。

應(yīng)用此處所有的已知結(jié)論，并且忽略物體表面曲率，便可以引入普朗特邊界層方程(1904)：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%2Bu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Bv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D$

同時(shí)，加上連續(xù)性方程： $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D0$ ，便成為一組可解的方程組。

對于邊界層方程，有幾個(gè)重要的邊界條件，這里全部列出：

1）在物壁上，速度嚴(yán)格為0： $u(t)%5Cvert_%7By%3D0%7D%3Dv(t)%5Cvert_%7By%3D0%7D%3D0$ 。

2）在邊界層與外流的交界處，即y=δ處，橫向速度為外流速度，縱向速度為0： $u(t)%5Cvert_%7By%3D%5Cdelta%7D%3DU(x)%EF%BC%8Cv(t)%5Cvert_%7By%3D%5Cdelta%7D%3D0$ 。

3）由于外流是無粘性流場，因此在交界處可以用伯努利方程(忽略物體表面曲率因此gz=0)： $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D-U%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$ 。

4）在物壁上，將條件1）代入邊界層方程中，同時(shí)加上3），可以得到： $%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%5Cvert_%7By%3D0%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D-U%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$ ，稱為“第一壁帶條件”。

5）在邊界層與外流的交界處，速度在橫向上不再變化，同時(shí)粘性力也變?yōu)?(無粘性流場）： $%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvert_%7By%3D%5Cdelta%7D%3D0%EF%BC%8C%20%5C%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%5Cvert_%7By%3D%5Cdelta%7D%3D0$ 。

最后，再給出平板表面上的壁面剪切力： $%5Ctau_%7Bbl%7D%3D%5Cmu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvert_%7By%3D0%7D$ 。關(guān)于壁面剪切力的一階導(dǎo)與粘性力項(xiàng)的二階導(dǎo)的關(guān)系請自行查閱。

4.邊界層厚度近似值

為了計(jì)算的方便，我們引入兩個(gè)邊界層厚度的近似值。由于在臨近交界處，u向U的轉(zhuǎn)變是漸進(jìn)的，因此可以將外流設(shè)置為y= $%5Cinfty$ ，也就是代表了y=δ處。

- 位移厚度 $%5Cdelta_1$ ：由于邊界層的存在，外流應(yīng)由物壁向外推移的距離。這里我們考慮流量的損失，在這一段控制體內(nèi)，流入的流體速度仍為U，因此流量為 $%5CDelta%20Q%3DU%20%5Cdelta_1$ 。而原本由外流占據(jù)，現(xiàn)在因?yàn)檫吔鐚訉?dǎo)致上移的這一塊控制體其剩余的流量為 $%5CDelta%20Q%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20(U-u)dy%20$ 。因此，另兩者相等，便可以得到位移厚度的定義式：

$%5Cdelta_1%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20(1-%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D)dy%20$ 。

- 動(dòng)量損失厚度 $%5Cdelta_2$ ：由于邊界層的存在，流場相對于外流損失的動(dòng)量。這里我們考慮單位寬度、單位質(zhì)量的動(dòng)量，則其表示為 $P%5Cpropto%20u%5E2l$ 。同樣的，類似于位移厚度推導(dǎo)，流入這一控制體的速度為U，因此流入動(dòng)量為 $%5CDelta%20P%3DU%5E2%20%5Cdelta_2$ 。而外流下，控制體的動(dòng)量表示為 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20uUdy%20$ ，其中Udy是進(jìn)入的流量；在邊界層下，控制體的動(dòng)量表示為 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20u%5E2dy%20$ 。兩者做差，并另其等于 $%5CDelta%20P$ ，便可以得到動(dòng)量損失厚度的定義式：

$%5Cdelta_2%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D%20(1-%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D)dy%20$ 。

二、卡門動(dòng)量方程

由于邊界層方程依舊保留了非線性項(xiàng)，所以不太好解。因此在1921年，馮-卡門提出了一個(gè)同時(shí)包含位移厚度，動(dòng)量損失厚度和壁面剪應(yīng)力的卡門動(dòng)量方程，Von Kármán momentum integral，這一章我們就來從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)一下。

首先，為了簡化，這里我們考慮定常流動(dòng)，即 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%3D0$ 。因此邊界層方程變?yōu)椋?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Bv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D" alt="u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Bv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D">，

其次，我們對邊界層方程在y上從0到 $%5Cinfty$ 積分： $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Bv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)dy%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D)dy$ 。

現(xiàn)在，對等式左邊第二項(xiàng)做分部積分： $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20v%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy%3D(uv)%5Cvert_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy$ ，

這里代入邊界條件1）和2）可以得到 $(uv)%5Cvert_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%3D0$ ；

同時(shí)對第二項(xiàng)用連續(xù)性方程替換掉v，則可得 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20v%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy$ 。

因此，等式左邊化為 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Bv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)dy%3D2%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%5E2%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy$ 。

接下來，對等式右邊分開來看。第一項(xiàng)用條件3）代換壓力p： $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DU%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy$ ,

同時(shí)對第二項(xiàng)直接積分有： $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7Ddy%3D%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvert_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D$ ，

通過條件5）可知， $%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvert_%7By%3D%5Cinfty%7D%3D0$ ，且 $%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvert_%7By%3D0%7D%3D%5Ctau_%7Bbl%7D%2F%7B%5Crho%7D$ 。

所以，這一項(xiàng)的結(jié)果是： $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7Ddy%3D-%5Cfrac%7B%5Ctau_%7Bbl%7D%7D%7B%5Crho%7D$

綜合以上結(jié)論，定常流的邊界層方程積分現(xiàn)在變?yōu)椋?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%5E2%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy%3D-U%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy%2B%5Cfrac%7B%5Ctau_%7Bbl%7D%7D%7B%5Crho%7D" alt="-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%5E2%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy%3D-U%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy%2B%5Cfrac%7B%5Ctau_%7Bbl%7D%7D%7B%5Crho%7D">。

為了和兩個(gè)近似厚度扯上關(guān)系，這里我們在方程兩邊各加上 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20uUdy$ ，則有

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20uUdy-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%5E2%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy%2BU%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20uUdy%3D%5Cfrac%7B%5Ctau_%7Bbl%7D%7D%7B%5Crho%7D$ 。

由于這里對x的偏導(dǎo)值與y無關(guān)，因此可以將其全部提出。

由此第一，第二項(xiàng)就變?yōu)椋?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(uU-u%5E2)dy%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D(U%5E2%20%5Cdelta_2)" alt="%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(uU-u%5E2)dy%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D(U%5E2%20%5Cdelta_2)">；

對第四項(xiàng)展開偏導(dǎo)，有 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20uUdy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Du%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20dy%2BU%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20dy$ ，

并且這里的第二項(xiàng)用連續(xù)性方程和條件1）、2）可得

$U%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20dy%3D-U%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20dy%3D-(Uv)%5Cvert_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%3D0$ ，

所以三、四兩項(xiàng)合并起來變?yōu)椋?/p>

$U%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20uUdy%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(U-u)dy%3DU%5Cdelta_1%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$ 。

綜上，我們便可以得到卡門動(dòng)量方程：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D(U%5E2%20%5Cdelta_2)%2BU%5Cdelta_1%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ctau_%7Bbl%7D%7D%7B%5Crho%7D$ 。

可以明顯的看到，方程左邊表征了在邊界層中，單位時(shí)間內(nèi)流場動(dòng)量沿縱向的損失，而右邊正是單位面積上的粘性力，因此完美符合動(dòng)量定理。

當(dāng)然，也可以從物理角度給出推導(dǎo)，這里由于篇幅限制不再敘述。

三、普爾豪森近似

1.引言

對與卡門動(dòng)量方程，其形式非常的簡潔，所以我們也能夠用比較簡潔的方法給出一個(gè)近似解。同樣是在1921年，普爾豪森給出了關(guān)于該方程的一個(gè)近似解，經(jīng)過之后幾位科學(xué)家的努力化為了一個(gè)簡單的多項(xiàng)式形式：Pohlhausen Approximation。

2.Blasius解簡介

為了了解普爾豪森近似解，我們首先需要了解邊界層的第一個(gè)近似解：布拉修斯(Blasius)解。在1908年，Blasius在一篇報(bào)告中提出了關(guān)于普朗特邊界層方程在外流速度U為常值下的著名的Blasius形式。文中，他引入了一個(gè)表征離壁面距離的無量綱變量 $%5Ceta%3Dy%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BU%7D%7B%5Cnu%20x%7D%7D%20%20$ ，并且將流函數(shù)表示為 $%5CPsi%3D%5Csqrt%7B%5Cnu%20xU%7Df(%5Ceta)$ 。通過流函數(shù)，計(jì)算出速度分量，再代入邊界層方程，就可以得到布拉修斯方程： $f%20f%5E%7B''%7D%2B2f%5E%7B'''%7D%3D0$ ，其中?f' 表示對η的導(dǎo)數(shù)(該記號(hào)請參考我的記號(hào)說明視頻)。對應(yīng)的邊界條件是 $%5Ceta%3D0%E6%97%B6f%3D0%2Cf%5E%7B'%7D%3D0$ (條件1)）； $%5Ceta%3D%5Cinfty%E6%97%B6f%5E%7B'%7D%3D1$ (條件2)）。布拉修斯解是用η的級數(shù)表示的，能較好的符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

布拉修斯形式的底層邏輯在于，邊界層方程相對于無量綱量只是進(jìn)行了一個(gè)相似變換，因此不會(huì)對與方程有任何實(shí)際的影響。這一塊等具體講《流力》的時(shí)候再談。

3.普爾豪森解

了解了布拉修斯解之后，我們便可以給出Pohlhausen解了。由于在層流邊界層中，邊界層厚度 $%5Cdelta%5Cpropto%20%5Csqrt%7B%5Cnu%20l%2F%20U%7D%20%0A%0A$ （本文第一章第二節(jié)），因此在布拉修斯解中，無量綱量 $%5Ceta%3Dy%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BU%7D%7B%5Cnu%20x%7D%7D%20%20$ 可以改寫為 $%5Ceta%3D%5Cfrac%7By%7D%7B%5Cdelta%7D$ 。這個(gè)就是普爾豪森解中的無量綱量。這里并不要求外流速度是常數(shù)。

普爾豪森解給出了邊界層中速度刨面對外流的比值，以多項(xiàng)式的形式呈現(xiàn)，因此具體給出

$%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7Da_n%7B%5Ceta%7D%5En%3Da%2Bb%7B%5Ceta%7D%2Bc%7B%5Ceta%7D%5E2%2Bd%7B%5Ceta%7D%5E3%2Be%7B%5Ceta%7D%5E4%2B...$ ，

這里我們以四次多項(xiàng)式的形式舉例。

關(guān)于多項(xiàng)式的系數(shù)可以從5個(gè)邊界條件給出：

1） $u%5Cvert_%7By%3D0%7D%3D0%5Cimplies%20a%3D0$ ;

2） $u%5Cvert_%7By%3D%5Cdelta%7D%3DU$ ，即 $%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D%5Cvert_%7B%5Ceta%3D1%7D%3D1%5Cimplies%20b%2Bc%2Bd%2Be%3D1$ ;

4） $%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%5Cvert_%7By%3D0%7D%3D-U%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cimplies%20%5Cfrac%7B2c%5Cnu%20U%7D%7B%7B%5Cdelta%7D%5E2%7D%3D-U%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$ ；

5） $%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvert_%7By%3D%5Cdelta%7D%3D0%EF%BC%8C%20%5C%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%5Cvert_%7By%3D%5Cdelta%7D%3D0$ ，即 $%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7BU%5Cpartial%20%5Ceta%7D%5Cvert_%7B%5Ceta%3D1%7D%3D0%EF%BC%8C%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7BU%5Cpartial%20%7B%5Ceta%7D%5E2%7D%5Cvert_%7B%5Ceta%3D1%7D%3D0%5Cimplies%20b%2B2c%2B3d%2B4e%3D0%EF%BC%8C2c%2B6d%2B12e%3D0$

解該方程組，首先從4）可知 $c%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%7B%5Cdelta%7D%5E2%7D%7B%5Cnu%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$ ，為了方便下文的表述，這里引入刨面形狀參數(shù)(shape factor) $%5Clambda%3D%5Cfrac%7B%7B%5Cdelta%7D%5E2%7D%7B%5Cnu%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%EF%BC%8C$ 則 $c%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clambda$ 。

隨后，該線性方程組能給出結(jié)果： $a%3D0%EF%BC%8Cb%3D2%2B%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B6%7D%EF%BC%8C%20c%3D-%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B2%7D%EF%BC%8Cd%3D-2%2B%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B2%7D%EF%BC%8Ce%3D1-%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B6%7D$ 。

由此，我們便可以給出普爾豪森解的四階多項(xiàng)式近似形式：

$%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D%3D2%7B%5Ceta%7D-2%7B%5Ceta%7D%5E3%2B%7B%5Ceta%7D%5E4%2B%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B6%7D(%7B%5Ceta%7D-3%7B%5Ceta%7D%5E2%2B3%7B%5Ceta%7D%5E3-%7B%5Ceta%7D%5E4)$ 。值得注意的是，和刨面形狀參數(shù)有關(guān)的這個(gè)多項(xiàng)式內(nèi)，其呈現(xiàn)出(1-η)^3的形式。

這里對于刨面形狀參數(shù)再做一些評述：若λ=0，則可由解得出平板邊界層的速度刨面；當(dāng)λ=0.752，得出正對固定平面流動(dòng)的邊界層速度刨面；當(dāng)λ=-12，得出在分離點(diǎn)處的速度刨面。

4.近似流場分析

有了普爾豪森解后，我們便可以用此多項(xiàng)式來給出卡門方程的解了。這里我們采用λ=0的情形，來分析平板邊界層的速度刨面。

此時(shí)速度刨面為u，同時(shí)因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Clambda%3D%5Cfrac%7B%7B%5Cdelta%7D%5E2%7D%7B%5Cnu%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D" alt="%5Clambda%3D%5Cfrac%7B%7B%5Cdelta%7D%5E2%7D%7B%5Cnu%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D">，所以λ=0代表了 $%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D0$ ，因此動(dòng)量方程化為： $U%5E2%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D(%5Cdelta_2)%3D%5Cfrac%7B%5Ctau_%7Bbl%7D%7D%7B%5Crho%7D$ 。

首先來計(jì)算動(dòng)量損失厚度: $%5Cdelta_2%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D%20(1-%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D)dy%20%3D%7B%5Cdelta%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D(2%7B%5Ceta%7D-2%7B%5Ceta%7D%5E3%2B%7B%5Ceta%7D%5E4)(1-2%7B%5Ceta%7D%2B2%7B%5Ceta%7D%5E3-%7B%5Ceta%7D%5E4)d%7B%5Ceta%7D%3D%5Cfrac%7B37%7D%7B315%7D%5Cdelta$ ，隨后來計(jì)算壁面剪切力:

$%5Ctau_%7Bbl%7D%3D%5Cmu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvert_%7By%3D0%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B%7B%5Cdelta%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7B%5Ceta%7D%7D%5BU(2%7B%5Ceta%7D-2%7B%5Ceta%7D%5E3%2B%7B%5Ceta%7D%5E4))%5D%5Cvert_%7B%5Ceta%3D0%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cmu%20U%7D%7B%7B%5Cdelta%7D%7D$ 。

代入卡門動(dòng)量方程，可以得到： $%5Cfrac%7B37%7D%7B315%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7B%5Cdelta%7D%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cmu%7D%7B%7B%5Crho%7D%7B%5Cdelta%7DU%7D$ ，解此方程可以得到邊界層厚度 $%7B%5Cdelta%7D%5E2%2F2%3D17%5Cfrac%7B%7B%5Cnu%7Dx%7D%7BU%7D%2BC$ 。

為了確定積分常數(shù)，引入邊界條件δ(x=0)=0，則C=0。

因此，通過四次多項(xiàng)式近似，我們最終得到層流邊界層厚度如下： $%7B%5Cdelta%7D%3D5.83%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cnu%7Dx%7D%7BU%7D%7D%3D%5Cfrac%7B5.83x%7D%7B%5Csqrt%7BRe_x%7D%7D%EF%BC%8C%5Cdelta_2%3D%5Cfrac%7B37%7D%7B315%7D%5Cdelta%3D%5Cfrac%7B0.66x%7D%7B%5Csqrt%7BRe_x%7D%7D$ 。

作為對比，我們給出Blasius解的近似數(shù)值： $%7B%5Cdelta%7D%3D%5Cfrac%7B5.5x%7D%7B%5Csqrt%7BRe_x%7D%7D%EF%BC%8C%5Cdelta_2%3D%5Cfrac%7B0.66x%7D%7B%5Csqrt%7BRe_x%7D%7D$ ，可以看到兩者符合的是比較好的，也符合我們從量級角度得出的結(jié)論。

對于λ≠0的情況，計(jì)算起來比較復(fù)雜，這里就不多贅述，同樣等具體講《流力》的時(shí)候再談。

四、維格哈特能量方程

卡門在動(dòng)量方程中的思想，便是開創(chuàng)了從平均值的角度來求解邊界層方程。當(dāng)然對于均值的處理花樣繁多，這里就不一一列舉了。在這些積分式中，有一個(gè)比較重要，那就是在1948年由維格哈特 K.Wieghardt給出的能量方程，這里簡單推導(dǎo)一下。

首先，先引入能量損失厚度 $%5Cdelta_3$ ：由于邊界層的存在，流場相對于外流損失的能量。類似于動(dòng)量損失厚度的推導(dǎo)，這里我們考慮單位寬度、單位質(zhì)量的能量，則其表示為 $E%5Cpropto%20u%5E3l$ 。流入這一控制體的速度為U，因此流入能量為 $%5CDelta%20E%3DU%5E3%20%5Cdelta_3$ 。而外流下，控制體的能量表示為 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20uU%5E2dy%20$ ，可由動(dòng)量對U積分得到；在邊界層下，控制體的能量表示為 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20u%5E3dy%20$ 。兩者做差，并另其等于 $%5CDelta%20E$ ，便可以得到動(dòng)量損失厚度的定義式：

$%5Cdelta_3%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D%20(1-(%5Cfrac%7Bu%7D%7BU%7D)%5E2)dy%20$ 。

其次，這里所涉及到的依舊是定常層流，因此邊界層方程依然是

$u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Bv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cnu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D$ ，

各類邊界條件均不變化。

這里，維格哈特所用的是對速度的期望平均，即乘上速度進(jìn)行積分。

我們首先對邊界層方程左右兩邊同乘上u，再對該方程在y上從0到 $%5Cinfty$ 積分，可得：

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20u%5E2%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Buv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)dy%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(Uu%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cnu%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D)dy$ ，

這里已經(jīng)利用條件3）將壓力替換了。

對于左邊第二項(xiàng)，類似的利用分部積分，加上條件1）與條件2）可得：

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20uv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy%3D(u%5E2v)%5Cvert_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20(uv)%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20u%20%5E2%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20uv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy$ ,

所以左側(cè)為 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20u%5E2%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Buv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)dy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20u%20%5E2%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%5E2%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddy$ 。

相同的，右側(cè)第二項(xiàng)分部積分，加上條件1）與條件5）可得：

$%5Cnu%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7Ddy%3D%5Cnu(u%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%5Cvert_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D-%5Cnu%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%5E2dy%3D-%5Cnu%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%5E2dy$ 。

代入全部內(nèi)容，提出所有對x的偏導(dǎo)值，我們便可以得到維格哈特能量方程：

$%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B2%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial(U%5E3%20%7B%5Cdelta%7D_3)%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%5Cmu%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%5E2dy$ 。

方程右側(cè)正是散耗能的積分，表示每單位長度由摩擦變?yōu)闊岬哪芰俊τ谒o出的解，我們可以利用一個(gè)雙參數(shù)速度刨面去滿足動(dòng)量方程，能量方程和第一壁帶條件。當(dāng)然，通過后續(xù)的研究可以發(fā)現(xiàn)，滿足能量方程比滿足第一壁帶條件更加重要，因此仍然可以用單參數(shù)的速度刨面滿足動(dòng)量方程，能量方程來求解。這個(gè)發(fā)現(xiàn)對于我們理解湍流至關(guān)重要。

本文簡單的梳理了一下平面層流邊界層的一些邊界層方程，重點(diǎn)關(guān)注了普爾豪森解。關(guān)于邊界層當(dāng)然還有很多內(nèi)容，比如可以在能量方程中引入動(dòng)量方程使其更加精確，或者應(yīng)用其他無量綱變換研究其特性。但所有的一切定量分析都離不開最初普朗特對于邊界層的思想，即確立縱向速度u為主要速度的N-S方程簡化版。因此，借本文再次向邊界層之父——普朗特致敬。

標(biāo)簽：

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平面層流邊界層方程的近似解

一、層流邊界層理論

二、卡門動(dòng)量方程

三、普爾豪森近似

四、維格哈特能量方程