第一次寫(xiě)專(zhuān)欄，若有錯(cuò)誤還請(qǐng)多多包容qwq

----------------分割線---------------

總所周知，圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中一大難點(diǎn)，在初中數(shù)學(xué)，二次函數(shù)的大題也是不容小覷的。然后，我就對(duì)圓錐曲線產(chǎn)生了這樣的好奇：

過(guò)圓錐曲線上橫/縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)作該圓錐曲線的切線，那么這兩條切線的斜率與圓錐曲線方程的各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)是否存在某種關(guān)系？

于是乎，我進(jìn)行了如下研究：

對(duì)于任意一條圓錐曲線：

C：px2+qy2+txy+ux+vy+w=0

我們先討論第一種情況：橫坐標(biāo)相等

在C上選取橫坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)A、B(如圖1－1)

分別過(guò)A(a,b1)，B(a,b2)兩點(diǎn)作C的切線，分別設(shè)斜率為k1、k2，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出解析式：

y1=k1(x－a)+b1

y2=k2(x－a)+b2

下面探究k1、k2與a和b1(b2)的關(guān)系。

首先，我們對(duì)該圓錐曲線的方程進(jìn)行隱函數(shù)求導(dǎo)(好吧我承認(rèn)并不是完全的初中可看)，得到：

2pxdx+2qydy+tydx+txdy+udx+vdy=0

移項(xiàng)，得：

dy/dx=－(2px+ty+u)/(2qy+tx+v)

于是我們可以建立一個(gè)關(guān)于x,y的二元函數(shù)f(x,y)(如圖1－2)

這樣我們就得到了過(guò)A、B兩點(diǎn)的斜線與其坐標(biāo)的關(guān)系。

下一步就是要求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)了，由于x已經(jīng)給定值為a，那么我們可以把原方程寫(xiě)成關(guān)于y的一元二次方程：

qy2+(ta+v)y+(pa2+ua+w)=0

由于A、B的位置關(guān)系對(duì)二者斜率關(guān)系無(wú)關(guān)，所以不妨讓b1根號(hào)前為正號(hào)的根。

對(duì)y求解即可得到：

這樣，我們便得到了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，只要將a、b1(b2)的值代入f(x,y)就能得到k1和k2的值，接下來(lái)就可以探討k1、k2與圓錐曲線各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)的關(guān)系了，這里直接給出結(jié)論：

這一點(diǎn)留給讀者自行證明。

下面研究縱坐標(biāo)相等時(shí)，k3、k4與各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)的關(guān)系：

同樣，我們先取兩個(gè)縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)C、D(如圖2－1)

不難看出，縱坐標(biāo)相等的情況可以看作是原圓錐曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)后的兩個(gè)橫坐標(biāo)相等的點(diǎn)，因此我們可以跳過(guò)計(jì)算，就能直接得到k3和k4。

又因?yàn)殛P(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)的兩條一次函數(shù)P和Q，其斜率kp、kq有如下關(guān)系：

于是我們可以得到：

至此，這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)完全解決，我們得到了直線y1、y2的斜率與方程中各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)的關(guān)系。

有趣的是，若是把此圓錐曲線的方程左邊看作一個(gè)二次六項(xiàng)式，則斜率之和僅跟二次項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，與所有一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。

這一點(diǎn)就超出我的能力范圍了，各位感興趣的可以嘗試證明一下（證出來(lái)了記得告訴我！）

最后聲明一下：本人目前初三，沒(méi)有系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)過(guò)高中的課程，此規(guī)律為本人自行獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有借助任何書(shū)籍、文獻(xiàn)等的幫助，若高中課程中含有與該專(zhuān)欄所研究?jī)?nèi)容相似/相同的地方，純屬巧合，并非抄襲。

感謝閱讀該專(zhuān)欄，此系列專(zhuān)欄會(huì)不定時(shí)更新。

輔助軟件：Desmos

官網(wǎng)：http://www.desmos.com/

歡迎在評(píng)論區(qū)指出錯(cuò)誤！