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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于期權(quán)定價(jià)的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

在本文中，我將向您展示如何模擬股票價(jià)格的Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型

Heston模型是一種期權(quán)估值方法，它考慮到同一資產(chǎn)在給定時(shí)間交易的不同期權(quán)的波動(dòng)性變化。它試圖通過使用隨機(jī)過程來模擬波動(dòng)率和利率來重新創(chuàng)建市場定價(jià)。Heston模型的特點(diǎn)是將波動(dòng)率函數(shù)的平方根包含在整個(gè)定價(jià)函數(shù)中。

對(duì)于固定的無風(fēng)險(xiǎn)利率，描述為：

通過使用這種模型，可以得出歐洲看漲期權(quán)的價(jià)格 。

這是函數(shù)的描述。

callHestoncf(S, X, tau, r, v0, vT, rho, k, sigma){# S = 股價(jià)在到期日的價(jià)格, X = 行權(quán)價(jià)格, tau = 到期日# r = 為無風(fēng)險(xiǎn)利率, q = 股息收益# v0 = 初始方差, vT = 長期方差# rho = 相關(guān)系數(shù), k = 是Vt回歸至θ的速度；# sigma = 波動(dòng)率}

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現(xiàn)在，進(jìn)行蒙特卡洛定價(jià)。我們將為3個(gè)歐洲看漲期權(quán)定價(jià)，具有3種不同的行權(quán)價(jià)格。我們在15年中使用100000個(gè)模擬，每個(gè)月進(jìn)行一次。以下是仿真的參數(shù)：

#初始價(jià)格S0 <- 100# 模擬次數(shù)（可以隨意減少）n <- 100000# 抽樣頻率freq <- "monthly"# 波動(dòng)率均值回復(fù)速度kappa <- 0.003#波動(dòng)率volvol <- 0.009# 相關(guān)性。成交量和現(xiàn)貨價(jià)格rho <- -0.5# 初始方差V0 <- 0.04# 長期的方差theta <- 0.04#初始短期利率r0 <- 0.015 ?# 期權(quán)到期日horizon <- 15#期權(quán)行權(quán)價(jià)格strikes <- c(140, 100, 60)

為了使用模擬Heston模型，我們首先需要定義如何進(jìn)行模擬。

此函數(shù)提供一個(gè)包含2個(gè)成分的列表，每個(gè)成分包含模擬的隨機(jī)高斯增量。

#? 隨機(jī)波動(dòng)模擬sim.vol <- simdiff(n =? n, horizon =? horizon,frequency =? freq, model = "CIR", x0 =? V0,theta1 =? kappa*theta, theta2 =? kappa,theta3 =? volvol, eps =? shocks[[1]]) ?# 股票價(jià)格模擬sim.price <- simdiff(n = n, horizon = horizon,frequency = freq, model = "GBM", x0 = S0,theta1 = r0, theta2 = sqrt(sim.vol),eps = shocks[[2]])

現(xiàn)在，我們可以計(jì)算3種不同的期權(quán)價(jià)格。

# 到期股票價(jià)格（15年）print(results) ? ? strikes mcprices? lower95? upper95 pricesAnalytic 1???? 140 25.59181 25.18569 25.99793???????? 25.96174 2???? 100 37.78455 37.32418 38.24493???????? 38.17851 3????? 60 56.53187 56.02380 57.03995???????? 56.91809

從這些結(jié)果中，我們看到這三個(gè)期權(quán)的蒙特卡洛價(jià)格與使用函數(shù)（直接使用公式來計(jì)算價(jià)格）計(jì)算出的價(jià)格相當(dāng)接近。95％的置信區(qū)間包含理論價(jià)格。

下面是期權(quán)價(jià)格，作為模擬次數(shù)的函數(shù)。計(jì)算出的理論價(jià)格用藍(lán)色繪制，蒙特卡洛平均價(jià)格用紅色繪制，陰影區(qū)域表示均值（蒙特卡洛價(jià)格）周圍的95％置信區(qū)間。

本文摘選?《?R語言用加性多元線性回歸、隨機(jī)森林、彈性網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測鮑魚年齡和可視化?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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