【數學基礎98】每天三道題（數學分析+解析幾何+線性代數）
預備知識：
定理：非空有上界數集必有上確界；
定理：單調有界數列必收斂；
數列極限lim?q^n=0，這里|q|<1；
柯西列：數列{an}為柯西列，即對任意小數ε>0，存在正整數N，對任意m，n>N，|am-an|<ε；
柯西準則：數列{an}收斂的充要條件是數列{an}是柯西列；
設lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；
lim（1+1/n）^n=e；
定理：數列{an}收斂的充要條件是：{an}的任何子列都收斂。
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；
性質：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；
右手系/左手系：設有不共面的三個向量a，b，c，將它們移到同一始點，則a，b決定一個平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經過小于平角的轉動達到b的方向，此時若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構成右手系，否則稱為左手系；
直角標架/直角坐標系：設i，j，k是空間中以O為起點的三個向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個以O為原點的直角標架或直角坐標系，記為{O；i，j，k}；
右手直角標架/右手直角坐標系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手架標或右手直角坐標系；否則稱為左手直角架標或左手直角坐標系；
直角坐標系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標系的基向量；
仿射架標/仿射坐標系：如果我們不要求i，j，k單位長度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個以O為原點的仿射架標或仿射坐標系；
右手仿射架標/右手仿射坐標系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手仿射架標或右手仿射坐標系；否則稱為左手仿射架標或左手直仿射坐標系；
仿射坐標系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標系的基向量；
坐標：O；i，j，k是空間的一個仿射坐標系（直角坐標系），則任意一個向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標系{O；i，j，k}下的坐標，記為v=（x，y，z）；
點的坐標：設{O；i，j，k}是空間的一個以O為原點的仿射坐標系（直角坐標系），規(guī)定P點的坐標為向量OP的坐標，向量OP成為P點的定位向量或矢徑，若P點的坐標為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；
坐標軸/坐標平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標軸或分別成為x，y，z軸，每兩根坐標軸所決定的平面稱為坐標平面或xOy，yOz，zOx坐標平面，3個坐標平面把空間分割成8個部分，稱為該坐標系的8個卦限；
已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）：
ab=a1b1+a2b2+a3b3；
|a|=（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）；
axb=（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k；
cos∠（a，b）
=（a1b1+a2b2+a3b3）/[（a1^2+a2^2+a3^2）（b1^2+b2^2+b3^2）]^（1/2）；
方向角、方向余弦：我們把向量a與x軸的夾角α，與y軸的夾角β，與z軸的夾角γ，叫做向量a的方向角；a的方向角的余弦叫做a的方向余弦——
cos?α=a1/（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2），
cos?β=a2/（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2），
cos?γ=a3/（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）。
距離公式：已知兩點P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2），P1，P2兩點間的距離|P1P2|為[（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2]^（1/2）；
定比分點公式：已知兩點P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2）.在P1P2上求一點P，使P分線段P1P2成兩個有向線段的量的比P1P/PP2=λ（λ≠-1），設P=（x，y，z），則x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ），z=（z1+λz2）/（1+λ）.
設A=（aij）mxn，B=（bij）nxn，規(guī)定：
A+B=（cij）mxn，其中cij=aij+bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）；
A-B=（dij）mxn，其中dij=aij-bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）；
kA=（eij）mxn，其中eij=kaij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），且k為常數；
矩陣乘法運算律——
a.結合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應的行列式。
矩陣對應行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設A與B都是數域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
定義：n階行列式|A|中，劃去第i行和第j列，剩下的元素按原來次序組成的n-1階行列式稱為矩陣A的（i，j）元的余子式，記作Mij。
定義：令Aij=（-1）^（i+j）Mij，稱Aij是A的（i，j）元的代數余子式。
定義：設A=（aij）nxn，則它的伴隨矩陣A*=（bij）nxn，其中bij=Aji（i，j=1，2，……），Aij為|A|中aij的代數余子式。
矩陣的秩：設非零矩陣A=（aij）mxn，A中若存在一個s階子式不等于零，一切s+1階子式都等于零，則稱A的秩為s，記為秩A=s或r（A）=s或rank（A）=s，若A=0mxn，則秩A=0，則A=0；
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調——
方陣A可逆，A對調i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉置運算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'；
克萊姆法則：設A是n*n矩陣，線性方程組Ax=B——
若|A|≠0，則方程組有唯一解：xi=Δi/Δ，其中Δ=|A|，Δi為|A|中第i列換為B，其它各列與|A|相同的n階行列式（i=1，2，……，n）；
對n維方陣A，若其行（列）向量線性相關，則|A|=0，若其行向量線性無關，則|A|不為0.
參考資料：
《數學分析》（華東師范大學數學系?編）
《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數題解精粹》（錢吉林?編著）
數學分析——
例題（來自《數學分析（華東師范大學數學系?編）》）——
求下述數列的極限：lim（n^5）/e^n.
解：
已知e>1，則e^（1/5）>1，令e^（1/5）=1+λ，則當n>2時——
[e^（1/5）]^n
=（1+λ）^n
=1+nλ+n（n-1）λ^2/2+……
>n（n-1）λ^2/2
>（nλ）^2/4；
由1：
0
<（n^5）/e^n
={n/[e^（1/5）]^n}^5
=[n/（1+λ）^n]^5
<{n/[（nλ）^2/4]}^5
=（4/nλ^2）^5；
lim（4/nλ^2）^5=0，由夾逼準則：lim（n^5）/e^n=0.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
用坐標證明雙重外積公式：（axb）xc=（ac）b-（bc）a.
解：
若向量坐標分別為：a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），c=（c1，c2，c3），則
a=a1i+a2j+a3k，
b=b1i+b2j+b3k，
c=c1i+c2j+c3k；
（axb）xc
=[（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k]x（c1i+c2j+c3k）
=[（a3b1-a1b3）c3-（a1b2-a2b1）c2]i+[（a1b2-a2b1）c1-（a2b3-a3b2）c3]j+[（a2b3-a3b2）c2-（a3b1-a1b3）c1]k
=（a3b1c3-a1b3c3-a1b2c2+a2b1c2）i+（a1b2c1-a2b1c1-a2b3c3+a3b2c3）j+（a2b3c2-a3b2c2-a3b1c1+a1b3c1）k；
（ac）b-（bc）a
=（a1c1+a2c2+a3c3）（b1i+b2j+b3k）-（b1c1+b2c2+b3c3）（a1i+a2j+a3k）
=（a2b1c2+a3b1c3-a1b2c2-a1b3c3）i+（a1b2c1+a3b2c3-a2b1c1-a2b3c3）j+（a1b3c1+a2b3c2-a3b1c1-a3b2c2）k；
由2、3：（axb）xc=（ac）b-（bc）a.
高等代數——
例題（來自《高等代數題解精粹（錢吉林?編著）》）——
設A為n階方陣（n>=2），E為n階單位矩陣，A*為A的伴隨矩陣，|A|為A的行列式.
如A為非奇異，試證：（A^（-1））*=（A*）^（-1）.
證：
已知AA*=|A|，（A^（-1））（A^（-1））*=|（A）^（-1）|；
則（A*）^（-1）=A/|A|，A=（A^（-1））^（-1）=（A^（-1））*/|（A）^（-1）|=|A|（A^（-1））*；
由2：（A^（-1））*=A/|A|=（A*）^（-1），證畢。
到這里！
