? ? ? 公元前500年，有一位牛人，叫畢達哥拉斯。如果你對這位牛人有點兒陌生，那你一定知道「畢達哥拉斯」定理，那就是「直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方」。在我國，這個定理就是著名的勾股定理。

? ? ? ?勾股定理是余弦定理的特殊情況。

? ? ? ?在畢達哥拉斯的時代，這個定理還有個有趣的名字，叫做「百牛定理」。原因是畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)并證明這個定理的時候太興奮了，傳說殺了100頭牛來祭祀神明，感謝神明賜給他的靈感。

? ? ? ?這位牛人創(chuàng)辦了一個數(shù)學學派，叫做畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派相信，整數(shù)像原子一樣，構成了宇宙中的一切，并描述宇宙中的一切。宇宙的一切事物的度量都可用整數(shù)或整數(shù)的比來表示，除此之外，就再沒有什么了。

? ? ? ? 于是畢達哥拉斯學派認為「組成和描述世界的，只有整數(shù)和整數(shù)之比」。

? ? ? ? 然而，這個觀點是錯的，而且錯的很遠很遠！

? ? ? ? ?畢達哥拉斯有一個學生，叫希帕索斯。這個哥們勤奮好學，善于觀察分析和思考。一天，他跑到畢達哥拉斯面前問他：「邊長為1的正方形，其對角線的長是多少呢？」

? ? ? ?畢達哥拉斯聽到這個問題就愣了，根據(jù)他證明的定理，邊長為1的正方形的對角線長度的平方應該等于2(即1^2+1^2)，那么什么數(shù)字的平方等于2呢？

? ? ? ? 畢達哥拉斯尋找了很久都沒有找到，他希望能找到兩個很大很大的數(shù)字相除，結(jié)果等于這個數(shù)字。但無論找到的分數(shù)的分子和分母多大，這個比值都只能很接近，卻不能精確地等于2的平方根(當時還沒有√2這種表達方式)。

? ? ? ? 也許你會想，數(shù)字要多大有多大，現(xiàn)在找不到，不代表以后找不到，也許有某兩個100億位的數(shù)字相除，結(jié)果正好等于2的平方根呢？

? ? ? ? 答案是沒有。不需要一直找下去，就可以直接證明，√2不是任何兩個整數(shù)之比！

反證法證明√2是無理數(shù)：

假設√2=p/q，

p、q為互質(zhì)的正整數(shù)

（兩個正整數(shù),除了1以外,沒有其他公約數(shù)時,稱這兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)，非互質(zhì)的兩個數(shù)相除，可以消去公約數(shù)而成為更小的分數(shù)，比如2/4可以消掉公約數(shù)2變成1/2）

兩邊平方：2=p2/q2

p2=2q2? ? ? ? ?——（1）

2q2顯然為偶數(shù),所以p2也是偶數(shù)，所以p必為偶數(shù)

設p=2k（k為正整數(shù)）

則（1）式變?yōu)椋?k2=2q2

q2=2k2

同理得q也為偶數(shù)

兩個偶數(shù)必有一個公約數(shù)2

與題設的p、q互質(zhì)矛盾

故不存在互質(zhì)的正整數(shù)p和q構成一個等于√2的分數(shù)。

? ? ? ?希帕索斯的這個發(fā)現(xiàn)，從根本上動搖了畢達哥拉斯學派的核心思想。畢達哥拉斯無法解釋這種“怪” 現(xiàn)象，他驚駭極了，整個學派的理論體系將面臨崩潰。忐忑不安下，他采取了錯誤的方式：下令封鎖消息，也不準希帕索斯再研究和談論此事。

? ? ? ?希帕索斯在畢達哥拉斯的高壓下，心情非常痛苦，但在事實面前，他認為√2是客觀存在的，老師的理論體系無法解釋它，這說明老師的理論有問題。

? ? ? ? 后來，他不顧一切的將自己的發(fā)現(xiàn)和看法傳揚了出去，整個學派頓時轟動了，也使畢達哥拉斯惱羞成怒，無法容忍這個“叛逆”，決定對希帕索斯施加懲罰。

? ? ? ?希帕索斯聽到風聲后，連夜乘船逃走。然而，就在他所乘坐的海船的后面追來了幾艘小船，當他還未醒悟過來的時候，畢達哥拉斯學派的打手已出現(xiàn)在他的面前，他手腳被綁后，投入到了浩瀚無邊的大海之中。這位年輕的數(shù)學家就這樣為了知識獻出了生命。

? ? ? ? ?后來的人們把希帕索斯發(fā)現(xiàn)的這種數(shù)稱之為無理數(shù)，之前畢達哥拉斯所認為是宇宙全部的數(shù)(整數(shù)和兩個整數(shù)至比)，稱為有理數(shù)。

? ? ? ? 實際上這兩個稱呼的翻譯是錯誤的，有理數(shù)來自于單詞「rational number」, 詞根ratio意思除了「合理」之外，還有一個含義是「比率」，所以更準切的翻譯是「可被比例描述的數(shù)」和「不可被比例描述的數(shù)」。只不過叫習慣了，也就沒必要改了。

? ? ? ?后來的人們又證明，不僅存在著無理數(shù)，而且無理數(shù)的數(shù)量遠遠多于有理數(shù)。

? ? ? ?在0和1之間隨便插一根針，你有幾乎是100%的概率得到一個無理數(shù)！