????????大家好呀，我是量子小輻。大家還記得科學(xué)小馬三千問系列的第一期嗎？?jī)?nèi)容是“計(jì)算云中城的高度”。時(shí)候我是準(zhǔn)大一，不會(huì)微分方程求解和復(fù)雜積分運(yùn)算，所以是按照勻速直線運(yùn)動(dòng)計(jì)算的；現(xiàn)在我準(zhǔn)研一，實(shí)在看不下去以前那些粗糙的計(jì)算了，干脆一不做二不休重置了一下。在之后的一段時(shí)間里，我也會(huì)逐步重新計(jì)算一些早年給出的、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢砟Ｐ停L試給出更加精確的答案。

????????所以今天的主題還是：更科學(xué)的小馬三千問——云中城有多高？

????????首先，我們要定義一下小馬世界里的關(guān)鍵長(zhǎng)度標(biāo)尺，例如從這個(gè)片段中我們可以通過蘋果作為參照，估算小馬腦袋的大小：

????????蘋果直徑一般在40~80mm之間，萍琪派的腦袋直徑大約相當(dāng)于蘋果直徑的三倍，而且我對(duì)蘋果杰克的果園產(chǎn)出的果實(shí)大小很有信心，因此我們估計(jì)小馬腦袋可近似看做一枚直徑約為30cm的球。

????????然后我們可以利用腦袋作為參照物，再次比對(duì)小馬的身體，計(jì)算出小馬的估算體重：

????????好吧不由得承認(rèn)小馬這種生物構(gòu)造真的很奇特，“小馬的眼睛半個(gè)腦袋大，小馬的耳朵眼睛一樣大。小馬的翅膀沒有腦袋大，小馬的腦袋比身體還要大”，小馬的全身質(zhì)量估算大約等于2.5個(gè)頭，而生物的密度又和水近似，因此我們可以用上述數(shù)據(jù)算出小馬的質(zhì)量約為35kg。

??????? 接下來我們找到了瑞瑞從云中城掉下來時(shí)的一段視頻，其跌落時(shí)間大約為53秒。

?????? 在空氣中自由下落，除了受到重力的影響外，還存在空氣阻力對(duì)其進(jìn)行減速。而空氣阻力計(jì)算公式為：

?F=?CρSv2???????? （1）
?? 其中 C為空氣阻力系數(shù)，ρ為空氣密度，S物體迎風(fēng)面積，v為物體與空氣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。

??????? 利用同樣的比例尺，容易得出瑞瑞下落時(shí)迎風(fēng)面積約為0.2m2。查閱相關(guān)文獻(xiàn)，人體在自由落體時(shí)的阻力系數(shù)一般為0.3~0.5，我們?nèi)≈虚g值0.4，暫且忽略空氣密度隨海拔高度的變化，取為常數(shù)1.2kg/m3。

????????首先我們要計(jì)算瑞瑞下落時(shí)的終末速度，此時(shí)空氣阻力應(yīng)該和其重力相等，即F=G。

????????將G=350N帶入（1）式，可得出v'=85m/s。

????????接著我們需要計(jì)算瑞瑞花了多久加速到終末速度。為此我們列出其運(yùn)動(dòng)微分方程：

取g=10m/s2，將數(shù)據(jù)帶入并解得：

將終末速度v'帶入，可得加速終末時(shí)間t'=26s。

????????也就是說瑞瑞的墜落過程由一段26s的加速運(yùn)動(dòng)和27s的勻速運(yùn)動(dòng)組成。

????????最后我們需要算出瑞瑞加速運(yùn)動(dòng)的總路程。將（3）式t-v圖像

繪制如下：

由定義，

相當(dāng)于圖形這一部分的面積：

但（3）式的反函數(shù)是無解析解的，因此我們只能解出：

相當(dāng)于這一部分的面積：

即：

????????但二者很容易相互轉(zhuǎn)換，只需用矩形面積減去紅色面積即可得藍(lán)色面積：

因此有：

加上后半段瑞瑞勻速墜落的距離，可得出云中城的離地高度約為：

h=1716m+27x85m=4011m

????????嗯，和第一次全程按照勻速直線運(yùn)動(dòng)計(jì)算的結(jié)果誤差還挺大的......

????????所以云中城的“更科學(xué)高度”應(yīng)該是4000米左右！

????????接著咱們?cè)偎阋粋€(gè)比較地獄的問題，云寶黛西在瑞瑞落地前的一瞬間接住了瑞瑞，并做了個(gè)垂直機(jī)動(dòng)，從而防止她直接摔到地面上，我們來算算這個(gè)過程中瑞瑞和云寶受到的過載是多少。

????????假設(shè)她們之間相互作用的時(shí)間為1s（實(shí)際時(shí)間應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1s），那么瑞瑞在垂直方向的動(dòng)量改變?yōu)?5x35kgm/s，即2975kgm/s，受到的平均作用力大小為2975N，平均豎直過載為85g。

????????所以算上水平方向的加速過載（我們也近似認(rèn)為花了1秒鐘，但實(shí)際上應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)不到一秒），瑞瑞至少能承受高達(dá)為120g的過載！

????????這是真 安東飛馬......