在多元函數(shù)微分學(xué)的專題中，會(huì)有這樣的情況，在求極值和最值時(shí)，產(chǎn)生的一系列方程組不知道怎么解，或者少解。那究竟應(yīng)該怎么解呢，下面UP給出了兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明用討論法求解方程組。

優(yōu)點(diǎn)在于不會(huì)少解，討論情況的層次分明。

例題1、求函數(shù)f(x,y)=xy(a-x-y)的極值。

產(chǎn)生方程組

f'x=y(a-x-y)-xy=0 ...①

f'y=x(a-x-y)-xy=0 ...②

下面來(lái)求解該方程組:

由①②得

y(a-2x-y)=0 ...③

x(a-x-2y)=0 ...④

下面討論y=0和y≠0

一、y=0時(shí)，③式無(wú)用，④式等價(jià)于a(a-x)=0，故x=0或x=a，此時(shí)得(0,0)和(a,0)

二、y≠0時(shí)，③式等價(jià)于a-2x-y=0...⑤，對(duì)于④式討論x=0和x≠0。

（1）若x=0，由⑤得y=a，得(0,a)。

（2）若x≠0，④式等價(jià)于a-x-2y=0...⑥，由⑤⑥可得(a/3,a/3)。

綜上，解得(0,0)，(a,0)，(0,a)，(a/3,a/3)。

例題2、求函數(shù)f(x,y)=x+y+1在約束條件x2+y2-1=0時(shí)的最值。

產(chǎn)生方程組:

F'x=1+2λx=0...①

F'y=1+2λy=0...②

F'λ=x2+y2-1=0...③

下面來(lái)求解該方程組:

顯然x=0或y=0或λ=0都不同時(shí)滿足①②③，故x≠0，y≠0，λ≠0。

由①②得到2λx=-1，2λy=-1，兩個(gè)式子相比得到y(tǒng)=x，往③式代入得到2x2=1，則x=±√2/2，則y=±√2/2。

綜上，得(√2/2,√2/2)和(-√2/2,-√2/2)。