120.1 設(shè)數(shù)列滿足，其中都是實數(shù)且，問何時數(shù)列保持有界？

記，那么，所以接下來只需要討論這種特殊情況就好了，記

(i)若沒有實數(shù)解，則對任意，無界

此時，又因為沒有不動點(diǎn)，所以單調(diào)的趨于正無窮

接下來討論有實數(shù)解的情況，為了便于討論，引入一些記號，記

分別為在0左端和右端的反函數(shù)，為方程的兩個實數(shù)解（可以相等）

(ii)若或，則單調(diào)趨于正無窮

直接解方程可知

若，則，所以只需討論的情況即可

因為，遞推可得

而，因為在的右端沒有不動點(diǎn)，所以只能有單調(diào)趨于正無窮

(iii)若且，則保持有界

若，則

遞推可得保持有界

(iv)若不成立，則只能在一個零測集上保持有界

若保持有界，則一定有成立。并且此時有，所以在上有定義，那么對有界的，成立

其中。接下來對于確定的，去研究，記

，那么

再根據(jù)，可知

，所以

接下來對進(jìn)行估計，因為，化簡可得

再遞推一步可得

那么

容易證明

其中，所以

注意蘊(yùn)含了