第六節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法

教學(xué)重點(diǎn)：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法

教學(xué)過程：

一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程

y￠￠+py￠+qy=0

稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù).

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.

我們看看, ?能否適當(dāng)選取r, 使y=erx ?滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程

y￠￠+py￠+qy=0

得

? ? ? ? (r 2+pr+q)erx =0.

由此可見, 只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0, 函數(shù)y=erx就是微分方程的解.

特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y￠￠+py￠+qy=0的特征方程. 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

求出.

編輯切換為居中

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? (3)特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時, 函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解. 函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解.

函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得

y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),

y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),

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例2 求方程y￠￠+2y￠+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y￠| x=0=-2的特解.

解 所給方程的特征方程為

r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0.

其根r1=r2=-1是兩個相等的實(shí)根, 因此所給微分方程的通解為

y=(C1+C2x)e-x.

將條件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 從而

y=(4+C2x)e-x.

將上式對x求導(dǎo), 得

y￠=(C2-4-C2x)e-x.

再把條件y￠|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解為

x=(4+2x)e-x.

例 3 求微分方程y￠￠-2y￠+5y= 0的通解.

解 所給方程的特征方程為

r2-2r+5=0.

特征方程的根為r1=1+2i, r2=1-2i, 是一對共軛復(fù)根,

因此所求通解為

y=ex(C1cos2x+C2sin2x).

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程

y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + × × × + pn-1y￠+pny=0,

稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中 p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常數(shù).

?二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去. ?

引入微分算子D, 及微分算子的n次多項式:

L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn,

則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作

(Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.

注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y￠, D2y=y￠￠, D3y=y￠￠￠, × × ×,Dny=y(n).

分析: 令y=erx, 則

L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn)erx=L(r)erx.

因此如果r是多項式L(r)的根, 則y=erx是微分方程L(D)y=0的解.

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程:

L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn=0

稱為微分方程L(D)y=0的特征方程.

特征方程的根與通解中項的對應(yīng):

單實(shí)根r 對應(yīng)于一項: Cerx ;

一對單復(fù)根r1, 2=a ±ib 對應(yīng)于兩項: eax(C1cosbx+C2sinbx);

? ?k重實(shí)根r對應(yīng)于k項: erx(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1);

一對k 重復(fù)根r1, 2=a ±ib 對應(yīng)于2k項:

eax[(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ × × × +Dk xk-1)sinbx].

例4 求方程y(4)-2y￠￠￠+5y￠￠=0 的通解.

解 這里的特征方程為

r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0,

它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i.

因此所給微分方程的通解為

y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).

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二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程簡介

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程: 方程

? ? ?y￠￠+py￠+qy=f(x)

稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 其中p、q是常數(shù).

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程

的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y=y*(x)之和:

? ? y=Y(x)+ y*(x).

當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時, 方程的特解的求法:

一、 f(x)=Pm(x)elx 型

當(dāng)f(x)=Pm(x)elx時, 可以猜想, 方程的特解也應(yīng)具有這種形式. 因此, 設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx, 將其代入方程, 得等式

Q￠￠(x)+(2l+p)Q￠(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).

? ?(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 則l2+pl+q10. 要使上式成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項式:

? ? ? ?Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm ,

通過比較等式兩邊同次項系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解

? ? ? ?y*=Qm(x)elx.

? ?(2)如果l是特征方程 r2+pr+q=0 的單根, 則l2+pl+q=0, 但2l+p10, 要使等式

? ? ? ?Q￠￠(x)+(2l+p)Q￠(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).

成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1 次多項式:

? ? ? ?Q(x)=xQm(x),

? ? ? ?Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm ,

通過比較等式兩邊同次項系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解 ?

? ? ? ?y*=xQm(x)elx.

? ?(3)如果l是特征方程 r2+pr+q=0的二重根, 則l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式

? ? ? ?Q￠￠(x)+(2l+p)Q￠(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).

成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m+2次多項式:

? ? ? ?Q(x)=x2Qm(x),

? ? ? ?Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm ,

通過比較等式兩邊同次項系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm , 并得所求特解

y*=x2Qm(x)elx.

綜上所述, 我們有如下結(jié)論: 如果f(x)=Pm(x)elx, 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y￠￠+py￠+qy =f(x)有形如

? ? ? ?y*=xk Qm(x)elx

的特解, 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2.

例1 求微分方程y￠￠-2y￠-3y=3x+1的一個特解.

解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 且函數(shù)f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1, l=0).

與所給方程對應(yīng)的齊次方程為

? ? ? ?y￠￠-2y￠-3y=0,

它的特征方程為

? ? ? ?r2-2r-3=0.

由于這里l=0不是特征方程的根, 所以應(yīng)設(shè)特解為

? ? ? ?y*=b0x+b1.

把它代入所給方程, 得

-3b0x-2b0-3b1=3x+1,

編輯切換為居中

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提示:

y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x,

[(b0x2+b1x)e2x]￠=[(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2]e2x,

[(b0x2+b1x)e2x]￠￠=[2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22]e2x.

y*￠￠-5y*￠+6y*=[(b0x2+b1x)e2x]￠￠-5[(b0x2+b1x)e2x]￠+6[(b0x2+b1x)e2x]

=[2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22]e2x-5[(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2]e2x+6(b0x2+b1x)e2x

=[2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)]e2x=[-2b0x+2b0-b1]e2x.

方程y￠￠+py￠+qy=elx[Pl (x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解形式

應(yīng)用歐拉公式可得

編輯切換為居中

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