今天有點無聊，想起來一道很老的金幣題，大家想必都見過，題目是這樣的:

“現(xiàn)在有10袋金幣，其中有一袋金幣是假的，已知一枚真金幣10g，一枚假金幣比真金幣少1g，假設(shè)現(xiàn)在你手上有一個電子秤可以稱出物體的重量，最少需要稱幾次才能知道哪袋是假金幣?”

這題算是非常經(jīng)典的了，所以解答我就不說了，我打算升級一下。

“現(xiàn)在對于上面那道題，如果不知道真金幣的重量，也不知道假金幣的重量(而且真假金幣哪個更重也不知道)，那最少需要稱幾次才能知道哪袋是假金幣?”

大家可以先思考一下，解答在下面↓↓↓↓

我的個人解答如下:

首先，把10袋金幣依次編號1～10號(貼標(biāo)簽)

然后，設(shè)真金幣的重量為x克，假金幣與真金幣的重量差值為y克，假金幣的袋數(shù)編號為z，每次用電子秤測量的讀數(shù)分別為α、β、δ、ε(以此類推，希臘字母)

接著，我們先從第1袋拿出一枚金幣，第2袋拿出兩枚金幣，第3袋拿出三枚金幣……第10袋拿出十個金幣，然后把這55個金幣放到電子秤上，記下讀數(shù)α，由此可以得出以下方程:? ? ? ??

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ??? 55x+zy= α?? ? ? ?①

接著我們再從每個袋子里拿出一枚金幣，放在剛才有55個金幣的電子秤上，進(jìn)行第二次稱重，并記下讀數(shù)β，由此可以得出以下方程:

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ?? 65x+(z+1)y=β?? ? ?②

此時大家不難看出，由于兩個方程中α和β為已知量，所以我們只要再通過一次稱重，得出一個與x，y，z有關(guān)的方程，便可以組成一個三元一次方程組，但這是不可能的，接下來不論如何稱重，都無法得出一個有用的方程。

大家首先想到的肯定是如法炮制，再從每個袋子里拿出一個金幣，然后得到方程:

? ? ? ? ? ? ? ? ? 75x+(z+2)y=δ? ?③

但這個方程是無效的，因為把③－②就得到了? 10x+y＝δ－β，但早在一開始得出①②兩個方程的時候，這種方法就已經(jīng)用過了，把②－①也會得到10x+y＝β－α，所以方程③是沒有用的。

那么可能還會有人這么想: 既然這個把戲玩不通了，那就換一個，比如從第1袋拿出兩個金幣，第2袋拿出四個金幣……第10袋拿出二十個金幣，就得到方程:

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 110x+2zy=ε? ?④

很遺憾，這種方法也是無效的，因為這種方法只剩單純把方程①乘以2的結(jié)果，我們甚至可以得出ε＝2α，對于這種可以預(yù)知接下來稱出金幣具體重量的方法，是沒有用的，不信你代入方程組中算一下就知道了。

那么，現(xiàn)在我們似乎已經(jīng)江郎才盡了，關(guān)鍵是題目一開始的條件給的太少了，所以，我個人最終也只想到一種最樸素的方法，首先，我們手上有兩個有用的方程:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 55x+zy= α? ? ①

? ? ? ? ? ? ? ? ??? 65x+(z+1)y=β?? ? ?②

我在想，如果x，y，z中如果有一個是已知量，那么這不就是一個二元一次方程組嗎？可是如何知道其中一個量呢？我覺得從x入手是唯一的辦法。

我的做法是這樣的:

把剛才電子秤上的金幣全都放回原來的袋子里，然后從第一袋中拿出1個金幣放在電子秤上測出讀數(shù)后放回去，再從第二個袋子拿出1個金幣測出讀數(shù)后放回去?，F(xiàn)在，如果兩個金幣質(zhì)量相等的話，那么我就成功得到真金幣x的值了，再代入①②，解出這個二元一次方程組就得到z了。(注:由于不知道真假金幣哪個更重，所以解出的y有可能是正數(shù)也可能是負(fù)數(shù))?

但假設(shè)我們運氣差，剛剛兩個金幣質(zhì)量不相等，那也就是說這兩個金幣一真一假，那我們也只需要再從第三個袋子拿出一個金幣測出讀數(shù)后，剛才那兩個金幣肯定有一個質(zhì)量不等于第三個金幣，那么那個金幣所對應(yīng)的袋子就都是假金幣。也就是說，如果運氣差，我們也只需要多測一次就行了。

整理: 運氣好的話，剛剛那兩袋+①②兩個方程所測的兩次，一共4次就可以找出假金幣；若運氣差的話，則多一次，即5次就可以找出假金幣。

綜上所述: 最少需要稱5次才能知道哪袋是假金幣。

(這里題目問的是“最少”，所以要做最壞的打算，如果我的運氣爆棚的話，我甚至不需要任何數(shù)學(xué)方法，我如果運氣好前兩次測出來不相等，第三次再測肯定就知道假金幣哪袋了，要真運氣這么好早去買彩票了)

這個文章里的方法是我自己想的，如果大佬們有更好的解法歡迎分享在評論區(qū)。