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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

研究黃金價格的動態(tài)演變過程至關(guān)重要。文中以黃金交易市場下午定盤價格為基礎(chǔ),幫助客戶利用時間序列的相關(guān)理論,建立了黃金價格的ARMA-GARCH模型,并對數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析,其結(jié)果非常接近。利用該模型可動態(tài)刻畫黃金價格數(shù)據(jù)的生成過程,也可幫助黃金產(chǎn)品投資者和生產(chǎn)者做出更加靈活、科學(xué)的決策。

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ARMA-GARCH模型

在一般的計量回歸模型中,一個重要的假設(shè)條件是回歸模型中殘差的同方差性。它保證了回歸系數(shù)的無偏性、有效性與一致性;然而,當(dāng)回歸殘差的方差不能夠保證同方差,即產(chǎn)生異方差時,回歸估計系數(shù)的有效性與一致性則無法保證,從而導(dǎo)致回歸系數(shù)估計的偏差。在實(shí)際的金融時間序列中,數(shù)據(jù)大都具有“尖峰厚尾”、波動集聚性與爆發(fā)性等特征。根據(jù)金融時間序列的這些特性,為了應(yīng)對這種情況,美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家RobertF.Engle于1 982年首次提出了A R C H模型;它具有良好的特性,即持續(xù)的方差和處理厚尾的能力,能較好地描述金融序列的波動特征[6-7]。

ARMA?模型

一般來說,一個變量的現(xiàn)在取值,不僅受其本身過去值的影響,而且也受現(xiàn)在和過去各種隨機(jī)因素沖擊的影響。因此,可建立其數(shù)據(jù)生成模型為:

y t=a 0+a 1 y t-1+a 2 y t-2+...+a py t-p+u t+

β1 u t-1+...+βq u t-q(1)

式中:p和q為模型的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù);a i和βi為不為零的待定系數(shù);u t為獨(dú)立的誤差項(xiàng);y t為平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列。如果該模型的特征根都在單位圓外,則該模型就稱為A R M A(p,q)模型

GARCH(p,q)?模型

若隨機(jī)變量y t可以表示為如下形式:

y t=a 0+a 1 y t-1+a 2 y t-2+...+a py t-p+u t(2)

σ2t=φ0+φ1 u2t-1+φ2 u2t-2+…+φq u2t-q(3)式中:σ2t為條件方差;φi為待定系數(shù);其它參數(shù)同上。

稱u t服從q階的A R C H過程,記作u t A R C H(q)。其中,(2)式稱作均值方程,(3)式稱作A R C H方程。A R C H(q)模型是關(guān)于σ2t的分布滯后模型。為避免u2t的滯后項(xiàng)過多,可采用加入σ2t滯后項(xiàng)的方法。對于(3)式,可給出如下形式:

σ2t=φ0+φ1 u2t-1+λ1σ2t-1(4)

式中:λ為待定系數(shù)。

該模型稱為廣義自回歸條件異方差模型,用G A R C H(1,1)表示。其中,u t-1稱為A R C H項(xiàng);σt-1稱為G A R C H項(xiàng)。

(4)式應(yīng)滿足的條件為:φ0>0,φ1≥0,λ1≥0。

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ARMA-GARCH?模型建立與實(shí)證分析

建立ARMA-GARCH?模型步驟

建立黃金價格ARMA-GARCH模型通常包括5個步驟,即序列平穩(wěn)性驗(yàn)證、模型識別及參數(shù)估計、異方差效應(yīng)檢驗(yàn)、建立ARMA-GARCH模型及參數(shù)估計、模型診斷與實(shí)證分析。建立模型過程見圖。

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數(shù)據(jù)采集

筆者所選取的樣本數(shù)據(jù)為XX定盤價格(用P表示,單位為美元/盎司),共計851個數(shù)據(jù),利用計量分析軟件R完成

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平穩(wěn)性檢驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理

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通過黃金價格時間序列(見圖2)可以看出,歷年的黃金價格有異常值并且結(jié)構(gòu)發(fā)生了突變;相關(guān)統(tǒng)計特征顯示黃金價格序列存在右偏和尖峰現(xiàn)象(相對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布),呈現(xiàn)“尖峰厚尾”特征。同時J B檢驗(yàn)也說明黃金價格序列不服從正態(tài)分布。再者,從黃金價格自相關(guān)及偏相關(guān)(見圖3)中,可初步判斷黃金價格為結(jié)構(gòu)發(fā)生突變的非平穩(wěn)時間序列。

為了檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否適合建立時間序列模型,現(xiàn)對數(shù)據(jù)做平穩(wěn)性檢驗(yàn)即單位根檢驗(yàn),檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头椒樽钚《斯烙?。對黃金價格P進(jìn)行單位根檢驗(yàn)檢驗(yàn)結(jié)果見如下。其檢驗(yàn)結(jié)果均清楚顯示黃金價格序列存在單位根,為非平穩(wěn)時間序列。

因此,筆者對黃金價格時間序列取自然對數(shù),再對其進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。從檢驗(yàn)結(jié)果可以看出,由于p值小于0.05，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為黃金價格時間序列為平穩(wěn)序列。只有帶漂移項(xiàng)的檢驗(yàn)式才能通過t檢驗(yàn)。

經(jīng)檢驗(yàn),A D F=-3.1413,小于不同檢驗(yàn)方法的臨界值,所以自然對數(shù)的黃金價格序列是一個帶有漂移項(xiàng)的平穩(wěn)序列。

模型識別及參數(shù)估計

ARMA模型的定階從兩方面考慮:一是考慮模型的數(shù)據(jù)特征,即自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù);二是考慮模型定階準(zhǔn)則AIC和SIC。

根據(jù)ln(P)的自相關(guān)圖,可初步選定ARMA(1,0)、ARMA(1,1)、ARMA(2,2)、ARMA(2,1)等8個模型。

通過綜合比較各模型的判定指標(biāo)(見表2),可以判斷模型ARMA(1,1)的AIC數(shù)值和SIC數(shù)值最小,初步選定該模型。其參數(shù)估計采用非線性最小二乘法,利用R軟件完成。ARMA(1,1)模型對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

l n(P t)=6.168+0.98 5l n(P t-1)+u t+0.33 4u t-1。

從結(jié)果可以看出,各參數(shù)均通過t檢驗(yàn),方程特征根的倒數(shù)均在單位圓內(nèi),即特征根均在單位圓外,滿足平穩(wěn)性要求。

ARMA (p,q) 模型的相關(guān)判定指標(biāo)

模型AIClog likelihoodA R M A ( 1, 0)?6880.5-3437.26A R M A ( 0, 1)9346.89-4670.44A R M A ( 1, 1)6882.5-3437.25A R M A ( 2, 1)6884.2-3437.12A R M A ( 1,2)6904.7-3447.35A R M A ( 2, 2)6883.6-3435.84A R M A ( 3, 1)6899.1-3443.58A R M A ( 1, 3)7096.61?-3542.3

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A R C H?檢驗(yàn)

在分析金融數(shù)據(jù)中,條件異方差的忽略可能導(dǎo)致參數(shù)估計失去漸進(jìn)有效性和ARMA模型的過度參數(shù)化,還可能引起傳統(tǒng)檢驗(yàn)的過度拒絕。可以發(fā)現(xiàn)波動的“成群”現(xiàn)象:波動在一段時期內(nèi)非常小,在其他一段時期內(nèi)非常大。這說明ARMA(1,1)模型的誤差項(xiàng)可能具有條件異方差性。

借助R軟件,可得出自回歸條件異方差的L M檢驗(yàn)式為:u2t=0.001 8+0.256 6u2t-1

t檢驗(yàn)(5.319)(5.65 2)

L P的A R M A(1,1)模型殘差檢驗(yàn)的統(tǒng)計量L M=8.3379>χ0.05(1)=3.8 4。其中,T為樣本容量;R2為判定系數(shù)。

ARMA-GARCH?模型建立

檢驗(yàn)結(jié)果證明,ARMA(1,1)模型的殘差存在自回歸條件異方差,則應(yīng)該在ARMA(1,1)均值方程基礎(chǔ)上建立ARCH模型。為確定ARCH階數(shù)需多次嘗試,最終確定ARCH模型為2階。因?yàn)闇笃诤荛L,在此考慮加入GARCH模型,進(jìn)一步采用GARCH(2,2)模型。

這些充分說明均值方程在配有G A R C H(1,1)模型后,已消除了A R M A(1,1)模型殘差序列中的自回歸條件異方差成分。該模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。

實(shí)證分析

結(jié)合預(yù)測理論及相應(yīng)軟件工具,利用ARMA(1,1)-GARCH(2,2)模型對黃金價格進(jìn)行驗(yàn)證。

最后我們得到以下結(jié)果：

結(jié)語

(1)本文通過對黃金價格ARMA(1,0)模型的殘差序列進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)了黃金價格存在明顯的自回歸條件異方差效應(yīng)。

(2)利用時間序列相關(guān)理論,建立了ARMA(1,1)-GARCH(2,2)模型。通過實(shí)證分析可知,該模型可準(zhǔn)確地動態(tài)刻畫黃金價格數(shù)據(jù)的生成過程,平均誤差很小。

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