該筆記默認只討論三維空間的變換情況。

一、概念

群：只支持一種封閉的運算方法的集合。

李群：具有連續(xù)性質(zhì)（非離散）的群。

（例：兩個旋轉(zhuǎn)矩陣R相加后不是旋轉(zhuǎn)矩陣，相乘后仍是旋轉(zhuǎn)矩陣，只關(guān)于乘法封閉，因此是李群）

李代數(shù)：由(一個集合,一個數(shù)域,一種運算方法)組成，那種運算方法被稱為李括號，元素和自己做李括號運算后=0。是李群某處的正切空間，李群是流形結(jié)構(gòu)，而李代數(shù)是線性空間，因此支持加法，用來幫助對姿態(tài)求導(dǎo)。

旋轉(zhuǎn)變換：

變換后的姿態(tài)=旋轉(zhuǎn)矩陣R×原向量，R就是李群，也被稱為特殊正交群SO(3)，是三維矩陣。

歐式變換：

在旋轉(zhuǎn)變換的基礎(chǔ)上加上平移，變換后的姿態(tài)=旋轉(zhuǎn)矩陣R×原向量+平移向量t，為了方便計算，給每個向量下面加上一行1變成4維，得到由R和t組成的變換矩陣T，T是李群，也被稱為特殊歐式群SE(3)，是四維矩陣。

李群表示一種變換，李代數(shù)表示這種變換的變化率。

李群是矩陣，李代數(shù)是向量（但可以通過^變成矩陣）。

已知李代數(shù)，通過指數(shù)映射得到李群；已知李群，通過對數(shù)映射得到李代數(shù)。

一般用exp()表示指數(shù)映射，例如R=exp(?^)，T=exp(ξ^)。（李代數(shù)要先加^變成矩陣形式）

李群SO(3)的李代數(shù)是so(3)，李群SE(3)的李代數(shù)是se(3)。

注意：SO(3)和R，so(3)和?，SE(3)和T，se(3)和ξ，指的是同一個東西，前者是概念的代指，后者是計算時的代指。

使用目的：求旋轉(zhuǎn)后的位姿對于旋轉(zhuǎn)的導(dǎo)數(shù)，方法分為李代數(shù)模型和小擾動模型。

二、計算

主要看上圖，以下內(nèi)容輔助理解。

SO(3)：

so(3)=?=旋轉(zhuǎn)向量θa（角度×轉(zhuǎn)軸單位向量）

指數(shù)映射（已知θ、a求R）

公式就是從旋轉(zhuǎn)向量θa轉(zhuǎn)換到旋轉(zhuǎn)矩陣R使用的羅德里格斯公式：

因此李代數(shù)?就是旋轉(zhuǎn)向量θa。

對數(shù)映射（已知R求θ、a）

只要通過R分別求出角度θ和單位向量a，就能得到李代數(shù)?。其中tr(R)是R的跡

SE(3)：

注意：其中ρ是平移，但是含義與T矩陣中的t不同。下面的指數(shù)映射是從T矩陣開始變化，和上面ξ^的變化并沒有什么關(guān)系，但是其中的ρ是一樣的。

指數(shù)映射（已知θ、a、ρ求R、t）

其中t=Jρ，J是雅可比矩陣（Jacobian matrix）

對數(shù)映射（已知R、t求θ、a、ρ）

通過R分別求出角度θ和單位向量a，得到?，另外再求出ρ