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一、定義

OCF可以理解為無(wú)限版的FGH，同樣弱化序數(shù)。

ω是起點(diǎn)（用無(wú)限好像可以讓某一個(gè)無(wú)限不屬于C(0)={0,1,ω,Ω}其中的任何一個(gè)數(shù)進(jìn)行有限次運(yùn)算得到的數(shù)），而進(jìn)行無(wú)窮次運(yùn)算——ω^ω^ω^ω^ω^……=sup{ω,ω^ω,ω^ω^ω,……}就會(huì)變成ψ(0)（這讓它不屬于C(0)={0,1,ω,Ω}以及它里面任何一個(gè)數(shù)進(jìn)行有限次運(yùn)算得到的數(shù)），用韋布倫函數(shù)理解，它是ε?。

二、計(jì)算

再走一步，ψ(1)=ψ(0)^ψ(0)^ψ(0)^……=ε?，（計(jì)算方法：C(1)又包括了C(0)、ψ(0)和ψ(0)進(jìn)行有限次運(yùn)算得到的數(shù)，而ψ(1)因?yàn)橐M(jìn)行無(wú)窮次運(yùn)算又不屬于C(1)，所以ψ(a)肯定不屬于C(a)，只要找到這個(gè)不屬于C(a)的最小的數(shù)就能計(jì)算ψ(a)了。ps：最小其實(shí)是因?yàn)楦蟮牟粚儆贑(a)的數(shù)還要用，還有有更大的C(a+1)又要包括ψ(a)了，要更大的ψ(a+1)了）繼續(xù)觀察：ψ(2)=ψ(1)^ψ(1)^ψ(1)……=ε?，發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的ψ(a)=ψ(a-1)^ψ(a-1)^ψ(a-1)^……=ε?，要增加括號(hào)內(nèi)的數(shù)字需要讓整個(gè)ψ(a)進(jìn)行無(wú)窮次運(yùn)算才能達(dá)到ψ(a+1)

但是：ψ(ζ?)=ζ?，而ψ(ζ?+1)應(yīng)該不屬于C(ζ?+1)的，可是ζ?本身就要進(jìn)行無(wú)窮次的ψ運(yùn)算（ζ?=ψ(ψ(ψ(……ψ(0)……)))），是錯(cuò)的，無(wú)效的（只要OCF用到無(wú)窮次計(jì)算C(a)就無(wú)效了），所以ψ(ζ?+1)的值不會(huì)變高，會(huì)定在ζ?，ψ(α)的最大值為ζ?無(wú)法升高:(

那怎么辦？

還記得C(a)之中有一個(gè)Ω（非遞歸序數(shù)）嗎？它就是答案。

既然C(Ω)里面出現(xiàn)不了ζ?，那么我們就可以用ψ(Ω)代替ζ?了，這樣就只要1步就可以到ζ?了，C(Ω+1)又包括ζ?了，又可以通過(guò)ε的無(wú)限次運(yùn)算繼續(xù)玩了。（重大突破，利用這個(gè)定值機(jī)制，就能弱化非遞歸序數(shù)。前面找到規(guī)律，后面就可以省略了，并且Ω的等級(jí)會(huì)越來(lái)越高，這將讓OCF越來(lái)越強(qiáng)）

ψ(Ω+1)=ε_(tái)ζ?+1=ζ?^ζ?^ζ?^……

ψ(Ω+2)=ε_(tái)ζ?+1^ε_(tái)ζ?+1^ε_(tái)ζ?+1^……

ψ(Ω+ζ?)=ε_(tái)ζ?2

ψ(Ω+ζ?2)=ε_(tái)ζ?3

ψ(Ω+a)=ε_(tái)ζ?+a=ε_(tái)ζ?+a-1^ε_(tái)ζ?+a-1^ε_(tái)ζ?+a-1^……

ψ(Ω+ε_(tái)ζ?+1)=ε_(tái)ε_(tái)ζ?+1

ψ(Ω+ε_(tái)ε_(tái)ζ?+1)=ε_(tái)ε_(tái)ε_(tái)ζ?+1

ψ(Ω+ζ?)=ζ?，ζ?直接有無(wú)窮次運(yùn)算了（ζ?=ε_(tái)ε_(tái)ε_(tái)……ε_(tái)ζ?+1），再用Ω替換它，ψ(Ω+Ω)=ψ(Ω2)=ζ?

ψ(Ω2+1)=ε_(tái)ζ?+1

ψ(Ω2+ζ?)=ε_(tái)ζ?2

ψ(Ω2+ε_(tái)ζ?+1)=ε_(tái)ε_(tái)ζ?+1

ψ(Ω2+ε_(tái)ε_(tái)ζ?+1)=ε_(tái)ε_(tái)ε_(tái)ζ?+1

ψ(Ω2+ζ?)=ζ?又遇到了，再用Ω，=ψ(Ω2+Ω)=ψ(Ω3)=ζ?

ψ(Ω3+1)=ε_(tái)ζ?+1

ψ(Ω4)=ζ?

ψ(Ωω)=ζ_ω

ψ(Ωζ?)=ζ_ζ?

ψ(Ωζ_ζ?)=ζ_ζ_ζ?

ψ(Ωη?)=η?，又來(lái)，=ψ(ΩΩ)=ψ(Ω2)=η?

ψ(Ω2+1)=ε_(tái)η?+1

ψ(Ω2+η?)=ε_(tái)η?2

ψ(Ω2+ε_(tái)η?+1)=ε_(tái)ε_(tái)η?+1

ψ(Ω2+ζ_η?+1)=ζ_η?+1

ψ(Ω2+Ω)=ζ_η?+1

ψ(Ω2+Ω+1)=ε_(tái)(ζ_η?+1)+1

ψ(Ω2+Ω+ε_(tái)(ζ_η?+1)+1)=ε_(tái)(ε_(tái)(ζ_η?+1)+1)

ψ(Ω2+Ω2)=ζ_η?+2

ψ(Ω2+Ωa)=ζ_η?+a

ψ(Ω2+Ωη?)=ζ_η?2

ψ(Ω2+Ωζ_η?+1)=ζ_ζ_η?+1

ψ(Ω2+Ωη?)=η?，再來(lái)。

ψ(Ω2+ΩΩ)=ψ(Ω2+Ω2)=ψ(Ω22)=η?

ψ(Ω22+Ωη?)=ζ_η?+η?

ψ(Ω22+Ωη?)=ζ_η?2

ψ(Ω22+Ωζ_η?+1)=ζ_ζ_η?+1

ψ(Ω22+Ωη?)=ψ(Ω22+ΩΩ)=ψ(Ω22+Ω21)=ψ(Ω23)=η?

ψ(Ω2ω)=η_ω

ψ(Ω2ψ(Ω2))=ψ(Ω2η?)=η_η?

ψ(Ω2ψ(Ω2ψ(Ω2)))=ψ(Ω2η_η?)=η_η_η?

sup{ψ(Ω2),ψ(Ω2ψ(Ω2)),ψ(Ω2ψ(Ω2ψ(Ω2))),……}=ψ(Ω3)=φ(4,0)

ψ(Ω3+1)=φ(1,φ(4,0)+1)

ψ(Ω3+φ(4,0))=φ(1,φ(4,0)2)

ψ(Ω3+ψ(Ω3+1))=φ(1,φ(1,φ(4,0)+1))

ψ(Ω3+Ω)=φ(2,φ(4,0)+1)

ψ(Ω3+Ω2)=φ(2,φ(4,0)+2)

ψ(Ω3+Ω2)=φ(3,φ(4,0)+1)

ψ(Ω32)=φ(4,1)

ψ(Ω3ω)=φ(4,ω)

ψ(Ω3ψ(Ω3))=φ(4,φ(4,0))

ψ(Ω3ψ(Ω3ψ(Ω3)))=φ(4,φ(4,φ(4,0)))

ψ(Ω?)=φ(5,0)

ψ(Ω?)=φ(6,0)

ψ(Ω^ω)=φ(ω,0)

ψ(Ω^ψ(0))=φ(φ(1,0),0)

ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(0)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)

sup{ψ(0),ψ(Ω^ψ(0)),ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(0))),……}=φ(φ(φ(……φ(1,0)……),0),0)=φ(1,0,0)=ψ(Ω^Ω)=Γ?，*韋布倫函數(shù)極限*

ψ(Ω^Ω+1)=φ(1,φ(1,0,0)+1)

ψ(Ω^Ω+Ω)=φ(2,φ(1,0,0)+1)

ψ(Ω^Ω+Ω2)=φ(3,φ(1,0,0)+1)

ψ(Ω^Ω+Ω^ω)=φ(ω,φ(1,0,0)+1)

ψ(Ω^Ω+Ω^ψ(0))=φ(φ(1,0),φ(1,0,0)+1)

ψ(Ω^Ω+Ω^ψ(Ω^Ω+Ω^ψ(0)))=φ(φ(ψ(0),φ(1,0,0)+1),φ(1,0,0)+1)

ψ((Ω^Ω)2)=φ(1,0,1)

ψ((Ω^Ω)3)=φ(1,0,2)

ψ((Ω^Ω)ω)=φ(1,0,ω)

ψ((Ω^Ω)ψ(0))=φ(1,0,φ(1,0))

ψ((Ω^Ω)ψ((Ω^Ω)ψ(0)))=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0)))

ψ(Ω^(Ω+1))=φ(1,1,0)

ψ([Ω^(Ω+1)]2)=φ(1,1,1)

ψ([Ω^(Ω+1)]ψ(0))=φ(1,1,φ(1,0))

ψ(Ω^(Ω+2))=φ(1,2,0)

ψ(Ω^(Ω+3))=φ(1,3,0)

ψ(Ω^(Ω+ω))=φ(1,ω,0)

ψ(Ω^(Ω+ψ(0)))=φ(1,φ(1,0),0)

ψ(Ω^(Ω2))=φ(2,0,0)

ψ(Ω^(Ω2)+Ω^ω)=φ(ω,φ(2,0,0)+1)

ψ(Ω^(Ω2)+Ω^Ω)=φ(1,0,φ(2,0,0)+1)

ψ(Ω^(Ω2)+Ω^(Ω+ω))=φ(1,ω,φ(2,0,0)+1)

ψ(Ω^(Ω2+1))=φ(2,1,0)

ψ([Ω^(Ω2+1)]2)=φ(2,1,1)

ψ(Ω^(Ω2+2))=φ(2,2,0)

ψ(Ω^(Ω3))=φ(3,0,0)

ψ(Ω^(Ωω))=φ(ω,0,0)

ψ(Ω^Ω^2)=阿克曼序數(shù)=φ(1,0,0,0)

ψ((Ω^Ω^2)2)=φ(1,0,0,1)

ψ(Ω^(Ω^2+1))=φ(1,0,1,0)

ψ(Ω^(Ω^2+2))=φ(1,0,2,0)

ψ(Ω^(Ω^2+Ω))=φ(1,1,0,0)

ψ(Ω^[(Ω^2)2])=φ(2,0,0,0)

ψ(Ω^[(Ω^2)ω])=φ(ω,0,0,0)

ψ(Ω^Ω^3)=φ(1,0,0,0,0)

ψ((Ω^Ω^3)2)=φ(1,0,0,0,1)

ψ(Ω^(Ω^3+1))=φ(1,0,0,1,0)

ψ(Ω^(Ω^3+Ω))=φ(1,0,1,0,0)

ψ(Ω^(Ω^3+Ω^2))=φ(1,1,0,0,0)

ψ(Ω^[(Ω^3)2])=φ(2,0,0,0,0)

ψ(Ω^Ω^4)=φ(1@5)

ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1@ω)=小韋布倫序數(shù)

ψ(Ω^Ω^ψ(0))=φ(1@φ(1,0))

ψ(Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^ψ(0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0)))

ψ(Ω^Ω^Ω)=大韋布倫序數(shù)（LVO）=sup{ψ(Ω^Ω^ψ(0)),ψ(Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^ψ(0))),ψ(Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^ψ(0)))),……}=φ(1@φ(1@φ(1@……φ(1,0)……)))*多元φ函數(shù)極限*

ψ(Ω^Ω^Ω +1)=ε_(tái)LVO+1

ψ(Ω^Ω^Ω +Ω)=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω +ψ(Ω^Ω^Ω)),ψ(Ω^Ω^Ω +ψ(Ω^Ω^Ω +ψ(Ω^Ω^Ω))),……}

ψ(Ω^(Ω^Ω+Ω))=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^(Ω^Ω+ψ(Ω^Ω^Ω))),ψ(Ω^(Ω^?+ψ(Ω^(Ω^Ω+ψ(Ω^Ω^Ω))))),……}

ψ(Ω^Ω^(Ω2))=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^(Ω+ψ(Ω^Ω^Ω))),ψ(Ω^Ω^(Ω+ψ(Ω^Ω^(Ω+ψ(Ω^Ω^Ω))))),……}

ψ(Ω^Ω^Ω^2)=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^(Ωψ(Ω^Ω^Ω))),ψ(Ω^Ω^(Ωψ(Ω^Ω^(Ωψ(Ω^Ω^Ω))))),……}

ψ(Ω^Ω^Ω^Ω)=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω)),ψ(Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω))),……}

ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^Ω)=sup{ψ(Ω^Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω^Ω)),ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω^Ω))),……}

然后：巴赫曼·霍華德序數(shù)（BHO）=sup{ψ(Ω),ψ(Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^Ω),……}=ψ(ε_(tái)Ω+1)

這里還不是極限，這才剛開(kāi)始，其實(shí)，以上都是在第一個(gè)非遞歸序數(shù)范圍內(nèi)的，后面還有第二個(gè)、第三個(gè)……那么，如何去那里呢？

終有一次，Ω也會(huì)被套無(wú)限次的，但是還不是這兒，再繼續(xù)前進(jìn)。（接下來(lái)可能只有簡(jiǎn)化了……）

ψ(ε_(tái)Ω?+1)=ψ(ψ?(0))

ψ(ε_(tái)Ω?+2)=ψ(ψ?(1))

ψ(ε_(tái)Ω?+ω)=ψ(ψ?(ω))

ψ(ε_(tái)Ω?2)=ψ(ψ?(Ω))

ψ(ε_(tái)[Ω?+ε_(tái)(Ω?+1)])=ψ(ψ?(BHO))

ψ(ζ_Ω?+1)（這里有無(wú)窮次運(yùn)算：ε_(tái)ε_(tái)ε_(tái)……ε_(tái)Ω?+1=ζ_Ω?+1，就像從ζ?到ζ?一樣）=ψ(Ω?)，這就是第二個(gè)非遞歸序數(shù)了。

ψ(ζ_Ω?+2)=ψ(Ω?+1)，注意：這可是在Ω?的情況下+1！這意味著：ψ(Ω?+1)=ε_(tái)ψ(Ω?)+1=ψ(Ω?)^ψ(Ω?)^ψ(Ω?)^……直接套Ω?……

ψ(Ω?2)=ψ(η_Ω?+1)，似曾相識(shí)的感覺(jué)，但是，這回直接拿Ω?套！

ψ(Ω?ω)=φ(ω,ψ(Ω?)+1)

ψ(Ω?2)=φ(1,0,ψ(Ω?)+1)=ψ(Γ_Ω?+1)

ψ(Ω?^Ω?)=φ(2,0,ψ(Ω?)+1)

ψ(ε_(tái)Ω?+1)=ψ(ψ?(0))

ψ(ε_(tái)ε_(tái)Ω?+1)=ψ(ψ?(ε_(tái)Ω?+1))

ψ(ζ_Ω?+1)=ψ(Ω?)

ψ(ζ_Ω?+1)=ψ(Ω?)

ψ(ζ_Ω?+1)=ψ(Ω?)

ψ(Ω_ω)

ψ(ε_(tái)(Ω_ω +1))=TFBO=ψ((Ω_ω)^(Ω_ω)^(Ω_ω)^……)

ψ(Ω_(ψ(Ω)))

ψ(Ω_(ψ(Ω_ψ(Ω))))

ψ(Ω_Ω)（驚現(xiàn)顏文字？！）

ψ(Ω_Ω_Ω)

ψ(Ω_Ω_Ω_Ω)

ψ(Ω_Ω_Ω_Ω_Ω_……)=ψ(Ｉ)=ψ(ψ_Ｉ(0))=Omega Fixed-Point

并且，更多的非遞歸序數(shù)，也終有一會(huì)，會(huì)被套無(wú)窮次……

還有，剛才的全部還是在非遞歸序數(shù)Ω里，在它之上還有Ｉ（不可達(dá)序數(shù)），現(xiàn)在還可以繼續(xù)。

如果你覺(jué)得太孤單，與Ｉ相關(guān)的函數(shù)有Φ函數(shù)。

Φ(0,α)=Ω_α

Φ(0,Φ(0,Φ(0,……)))=Φ(1,0)=Ω_Ω_Ω_……=Ｉ（φ函數(shù)的味）

ψ(Φ(1,1))=ψ(Φ(0,Φ(0,Φ(0,……Φ(1,0)))))=ψ(ψ_Ｉ(1))

ψ(Φ(2,0))=ψ(Φ(1,Φ(1,Φ(1,……Φ(1,0)))))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ))

ψ(Φ(2,1))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ2))

ψ(Φ(3,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ2))

ψ(Φ(4,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ3))

ψ(Φ(1,0,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ))

ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^ω))=ψ(Φ(1,0,0,0,……))，Ｉ版的SVO。

ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^Ｉ))，Ｉ版的LVO。

ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^Ｉ^……))=ψ(ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0)))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0))，Ｉ版的BHO。

ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(Ｉ))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(……ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0))))))，Ｉ被加強(qiáng)了，琢磨一下。

ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(Ω_Ｉ+1))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(ψ_(Ω_Ｉ+1)ψ_(Ω_Ｉ+1)……(0)))

α→ψ(ψ_(Ω_Ｉ+α))的序數(shù)不動(dòng)點(diǎn)為ψ_Ｉ(2)(0)，不要認(rèn)為它是ψ(ψ_Ω_Ｉ(Ω_(Ｉ2)))。

ψ(Ｉ(3))

ψ(Ｉ(Ｉ(Ｉ……(Ｉ(Ｉ(Ｉ))))))=Ｉ(1,0)

ψ(Ｉ(1,0,0)) ? ? ? ? ?多元φ函數(shù)：又學(xué)我

ψ(Ｉ(1,0,0,0))

ψ(Ｉ(1@4))

再往下走下去又有ψ(Ｉ(1@ψ(Ｉ(1@1))))等等。

如果覺(jué)得太麻煩，還有χ函數(shù)，里面還有Ｍ（馬洛序數(shù)），它與Ｉ序列的關(guān)系是：

Ｉ(α?@(1+β?),……α?@(1+β?),α?@(1+β?),α?

)=χ(Ｍ^α??β?+……+Ｍ^α??β?+Ｍ^α??β?,α?)

ψ(Ｉ(ω@ω))=ψ(χ(Ｍ^Ｍ^ω))

ψ(Ｉ(ω@ω@ω))=ψ(χ(Ｍ^Ｍ^Ｍ^ω))

就這樣一直下去，你也可以自己造一個(gè)新的函數(shù)，繼續(xù)下去，就像有限世界一樣……

三、續(xù)集

有限的盡頭是無(wú)限。那么，按理說(shuō)，一直這樣下去也要有個(gè)頭啊。

沒(méi)錯(cuò)，這個(gè)頭就是非遞歸序數(shù)。

非遞歸序數(shù)，字面意思就是指不能用任何運(yùn)算和遞歸關(guān)系來(lái)達(dá)到的數(shù)。因此，非遞歸序數(shù)就像一個(gè)升級(jí)的無(wú)窮序數(shù)。

非遞歸序數(shù)也分多個(gè)。第一個(gè)非遞歸序數(shù)是ω???（其中，下標(biāo)1表示第1個(gè)，上標(biāo)cK表示非遞歸的教堂克林序數(shù)），即教堂克林序數(shù)。然而它依然是有限序數(shù):(

第二個(gè)非遞歸序數(shù)是ω???，它則是所有由ω???通過(guò)各種遞歸運(yùn)算得出的序數(shù)的集合。

運(yùn)可以增強(qiáng)下標(biāo)弄出更多的序數(shù)。（ω???）

順便說(shuō)一下，教堂克林序數(shù)可以表示忙碌海貍函數(shù)，Σ(n)的增長(zhǎng)率為ω???，Σ?(2)=ω???+1，高階圖靈機(jī)的增長(zhǎng)率Σ?(n)為ω???

The end